МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Частный институт управления и предпринимательства

В. М. Метельский

Высшая математика

Непрерывность функции

Функции нескольких переменных

Учебно-методическое пособие

Минск 2005

УДК 51

ББК 22.11я73

М 54

Автор

В. М. Метельский, доцент кафедры высшей математики и статистики Частного института управления и предпринимательства, кандидат физико-математических наук

Рецензенты:

Н. С. Коваленко, профессор кафедры высшей математики Белорусского государственного экономического университета, доктор физико-математических наук, профессор;

Т. И. Чепелева, доцент кафедры высшей математики Белорусского национального технологического университета, кандидат физико-математических наук, доцент

Рассмотрено, одобрено и рекомендовано к изданию на заседании кафедры высшей математики и статистики, протокол № 4 от 11 ноября 2005 г.

Метельский, В. М.

М 54 Высшая математика. Непрерывность функции. Функции нескольких переменных: Учеб. пособие / В. М. Метельский. – Мн.: Частн. ин-т упр. и предпр., 2005. – 24 с.

Учебное пособие по курсу «Высшая математика» подготовлено в соответствии с рабочей программой ЧИУиП по данной дисциплине, стандартом и типовой программой Министерства образования Республики Беларусь. Оно включает лекции по темам «Непрерывность функции» и «Функции нескольких переменных».

Для студентов дневной и заочной форм обучения Частного института управления и предпринимательства.

УДК 51

ББК 22.11я73

© Метельский В. М., 2005

© Частный институт управления и предпринимательства, 2005

Лекция 1. Непрерывность функции

План

1. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке.

2. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерыв-ных на отрезке.

3. Точки разрыва функции и их классификация.

Ключевые понятия

Предел функции в точке.

Односторонние пределы.

Непрерывность функции в точке.

Приращение аргумента.

Приращение функции.

Непрерывность функции на отрезке.

Точки разрыва функции.

Точки разрыва первого рода.

Точки устранимого разрыва.

Точки разрыва второго рода.

1. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если выполнены следующие три условия: 1) определена в точке и ее окрестности; 2) существует конечный предел функции в точке ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т. е.

. (1)

Так как , то равенство (1) можно записать в виде

. (2)

Это означает, что для непрерывной функции знаки предела и функции можно переставлять.

На практике часто используется следующее определение непрерывности функции в точке, эквивалентное определению 1.

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если: 1) определена в точке и ее окрестности; 2) существует конечные односторонние пределы и ; 3) эти пределы равны между собой и равны значению функции в точке , т. е.

. (3)

Сформулируем еще одно определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.

Пусть функция определена в точке и ее окрестности. Дадим аргументу приращение . Тогда функция получит приращение (рис. 1).

Рис. 1

Определение 3. Функция называется непрерывной в точке , если: 1) определена в точке и ее окрестности; 2) бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

(4)

Пример 1. Доказать, что функция непрерывна в любой точке области определения, т. е. в любой точке .

Решение. Дадим аргументу приращение в точке и найдем приращение функции :

.

Следовательно,

.

Таким образом, , а это и означает, что функция непрерывна в точке .

Пример 2. Исследовать на непрерывность в точке следующие функции: а) ; б) в) .

Решение. а) Функция определена в окрестности точки , но в самой точке она не определена, следовательно, в этой точке она не является непрерывной (не выполнено первое условие непрерывности).

б) Для исследования на непрерывность воспользуемся определением 2. В точке функция определена ( ), т. е. первое условие непрерывности выполнено; второе условие также выполняется: ; ; третье условие непрерывности не выполняется, так как . Следовательно, данная функция также не является непрерывной в точке .

в) Функция является непрерывной в точке , так как выполнены все три условия непрерывности: она определена в точке и ее окрестности; существуют односторонние пределы , ; эти пределы равны между собой и равны значению функции в точке : .

Свойства функций, непрерывных в точке:

1. Если функции и непрерывны в точке , то функции , (с – постоянная), и (при условии что ) также непрерывны в точке .

2. Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

2. Непрерывность функции на отрезке.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение 4. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (в точке a непрерывна справа, т.е. , а в точке b непрерывна слева, т. е. ).

Все основные элементарные функции непрерывны в области их определения.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

1. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке (первая теорема Вейерштрасса).

2. Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке она достигает своего наименьшего значения и наибольшего значения (вторая теорема Вейерштрасса) (см. рис. 2).

3. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка существует хотя бы одна точка такая, что (теорема Больцано-Коши) (см. рис. 3).