Б. Метод замены переменной (подстановки)
Пусть требуется
вычислить интеграл
,
который не вычисляется непосредственно.
Сделаем замену переменной
,
где
– дифференцируемая функция. Тогда
и исходный интеграл приобретет вид
.
(1)
Формула (1) называется
формулой
замены переменной в неопределенном
интеграле.
После вычисления интеграла в правой
части этого равенства следует перейти
от новой переменной интегрирования
к старой переменной
.
Пример 3.
Найти интеграл
.
Решение.
Сделаем
замену
,
тогда
,
а
.
Найдем
:
.
Следовательно,
=
.
Возвращаясь
к переменной
,
окончательно получаем:
.
Пример 4
В. Метод интегрирования по частям
Пусть
и
– две дифференцируемые функции. По
свойству дифференциала
,
или
.
Интегрируя обе
части последнего равенства и учитывая,
что
,
получаем
.
(2)
Формула (2) называется формулой интегрирования по частям.
В некоторых случаях для нахождения искомого интеграла формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз.
Большая часть интегралов, берущихся по формуле (2), может быть разбита на три группы:
1. К первой группе относятся интегралы вида
,
,
,
,
,
,
где
– многочлен. Для их вычисления следует
применить формулу (2), полагая в ней
равным одной из указанных выше функций,
а
.
2. Ко второй группе относятся интегралы вида
,
,
,
где
– многочлен;
– некоторое число. Для их вычисления
следует положить
,
а
,
,
соответственно.
3. К третьей группе относятся интегралы вида
,
,
,
,
где
и
– некоторые числа. Эти интегралы
вычисляются двукратным интегрированием
по частям, причем за
можно принимать любой из сомножителей.
В результате получим уравнение первого
порядка относительно исходного интеграла.
Пример 5
Г. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Пусть подынтегральная
функция содержит квадратный трехчлен
.
Интегралы вида
вычисляются следующим образом. Из
квадратного трехчлена в знаменателе
выделим полный квадрат:
где
,
если
,
и
,
если
.
Далее
сделаем подстановку
,
откуда
,
.
Получим
.
Последний интеграл является табличным и вычисляется по формулам 15, 16 таблицы основных неопределенных интегралов.
Пример 6.
Вычислить интеграл
.
Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат:
.
Сделаем подстановку
,
тогда
и
.
Возвращаясь к переменной х, получим
.
Д. Интегрирование простейших рациональных дробей
Определение 3.
Рациональной дробью называется дробь
вида
,
где
и
– многочлены степени
и
соответственно.
Рациональная дробь
называется правильной,
если степень числителя меньше степени
знаменателя, т.е.
,
и неправильной
– в противном случае (
).
Неправильная рациональная дробь путем деления многочленов может быть представлена в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.
Простейшей рациональной дробью называется правильная дробь одного из следующих видов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Интегралы от рациональных дробей 1), 2) находятся методом замены переменной:
[положим
тогда
]
=
[возвращаемся
к переменной x]
=
;
[
]
=
[возвращаемся
к переменной x]
=
.
Заметим, что любая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде конечной суммы простейших рациональных дробей 1-4, например, методом неопределенных коэффициентов.
Пример 7.
Вычислить интеграл
.
Решение.
[сделаем
замену
] =
.