Частный институт управления и предпринимательства

Ю. В. Минченков

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Сборник задач

по математическому анализу

Учебно-методическое пособие

Минск 2008

УДК 51

ББК 22.1я73

М 62

Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом Частного института управления и предпринимательства

А в т о р

заведующий кафедрой высшей математики и статистики Частного института управления и предпринимательства кандидат физико-математических наук, доцент Ю. В. Минченков

Р е ц е н з е н т ы:

доцент кафедры высшей математики и математической физики Белорусского государственного университета кандидат физико-математических наук, доцент А. А. Егоров;

доцент кафедры высшей математики и информатики Государственного института управления и социальных технологий БГУ кандидат физико-математических наук, доцент Н. Н. Рачковский

Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры высшей математики и статистики, протокол № 2 от 19 сентября 2008 г.

Минченков, Ю. В.

М 62 Высшая математика. Сборник задач по математическому анализу: учеб.-метод. пособие / Ю. В. Минченков.– Минск: Частн. ин-т упр. и предпр., 2008.– 83 с.

ISBN 978-985-6877-23-3.

Приведены формулы, определения и другие краткие пояснения теории, необходимые для решения задач. Сборник содержит типовые задачи по математическому анализу с решениями и пояснениями.

Предназначен для самостоятельной работы студентов Частного института управления и предпринимательства.

УДК 51

ББК 22.1я73

© Минченков Ю. В., 2008

ISBN 978-985-6877-23-3 © Частный институт управления и предпринимательства, 2008

1. Предел последовательности

Бесконечной числовой последовательностью (или просто последовательностью) называется функция

(1)

определенная на множестве натуральных чисел. Каждое значение называют элементом (или членом) последовательности, а число п – номером элемента последовательности. Заметим, что последовательность всегда содержит бесконечное число членов.

Число а называется пределом числовой последовательности при , если для любого положительного сколько угодно малого числа существует номер , такой, что для всех выполняется неравенство

. (2)

Обозначается .

Математически данное определение можно записать в виде:

.

Числовая последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся. Последовательность, не имеющая предела, называется рас-ходящейся. Если , то говорят, что последовательность сходится к бесконечности.

Пример 1. Доказать, что число является пределом последовательности . Найти, сколько элементов данной последовательности не попало в -окрестность числа , если .

Решение. Из неравенства (2) следует

Таким образом, (целая часть числа, так как – это номер элемента). Следовательно, при , т. е. число является пределом данной числовой последовательности.

Пусть Следовательно, ровно 1999 элементов находится за пределами интервала .

,

.

Числовая последовательность называется бесконечно большой последовательностью (б.б.п.), если .

Числовая последовательность называется бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если .

Основные способы вычисления пределов

При вычислении пределов следует помнить, что .

Пример 2. = (делим числитель и знаменатель на наивысшую степень п, в данном случае на ) =

.

Пример 3.

.

Пример 4.

Пример 5

.

Пример 6

.

Анализируя примеры 2–6, можно сделать вывод, что когда мы имеем неопределенность , предел равен:

1. отношению коэффициентов при старших степенях n, если степени n числителя и знаменателя равны;

2. 0, если наивысшая степень n числителя меньше наивысшей степени n знаменателя;

3. , если наивысшая степень n числителя больше наивысшей степени n знаменателя.

Пример 7

(делим числитель и знаменатель на п)

.

Вторым замечательным пределом будем называть предел:

, (3)

где – иррациональное число.

Заметим, что данный предел представляет собой неопределенность вида Он широко используется при вычислении других пределов. Рассмотрим примеры.

Пример 8. , так как . Заметим, что если предел имеет вид, подобный виду (3), то он равен е (произведение второго слагаемого на степень равно 1).

Пример 9

Пример 10

.

Задачи для самостоятельного решения

1. Предел последовательности

1. Доказать, что число а является пределом последовательности . Найти, сколько элементов данной последовательности не попало в -окрест-ность числа а:

а) ;

б)

в)

г)

д)

2. Найти пределы:

а) б) в)

г) ; д) е)

ж) з); и)

к) ; л) ;

м) .

3. Найти пределы:

а) б)

в) г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) .

4. Найти пределы, используя второй замечательный предел:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и); к).