2. Предел функции Определение предела функции в точке по Коши

Число называется пределом функции в точке , если она определена в некоторой проколотой окрестности точки и если для любого сколь угодно малого числа можно указать такое число что для всех х:

, выполнено неравенство .

.

Если – предел функции в точке , то это записывают так:

или .

Односторонние пределы функции в точке. Назовем левой полуокрестностью точки произвольный интервал а правой полуокрестностью точки – произвольный интервал .

Число А называется пределом функции в точке справа (слева), если функция определена в некоторой правой (левой) полу-окрестности точки и если для любой последовательности , , сходящейся к , соответствующая последовательность значений функции сходится к А. Односторонние пределы обозначают:

– предел справа,

– предел слева.

Заметим, что односторонние пределы могут не совпадать.

Пример 1. Найти предел функции:

а) ;

б)

Пример 2. Найти односторонние пределы функции в точке :

Г еометрически это можно изобразить следующим образом:

Предел функции в бесконечности

Рассмотрим случай, когда .

Число называется пределом функции при если

Геометрически это можно изобразить следующим образом:

Аналогично определяется предел функции при .

Пример 3:

а) ;

б) ;

в)

Функция называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при , если

Функция называется бесконечно большой функцией (б.б.ф.) при , если .

Пример 4:

а) функция б.м.ф. при ;

б) функция б.б.ф. при

Первый и второй замечательные пределы

Первый замечательный предел:

или . Учитывая, что , имеем также, что или .

Второй замечательный предел:

или .

Рассмотрим на примерах использование замечательных пределов.

Пример 5:

а) , так как ;

б) ,

так как ;

в) ;

г) (Проверить самостоятельно);

д) , так как ;

е) ,

так как ;

ж)

,

так как, .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

2. Предел функции

1. Найти предел функции:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) .

2. Найти предел функции, используя первый и второй замечательные пределы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) ;

и) ; к) .

3. Найти предел функции:

а); б) ; в) ;

г); д) ; е) .

3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если выполнены следующие три условия: 1) определена в точке и ее окрестности; 2) существуют конечные пределы слева и справа функции в точке ; 3) эти пределы равны и равны значению функции в точке , т. е.

.

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если: 1) определена в точке и ее окрестности; 2) бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

Пример 1. Доказать, что функция непрерывна в любой точке области определения, т. е. в любой точке .

Решение. Дадим аргументу приращение в точке и найдем приращение функции :

.

Следовательно,

.

Таким образом, , а это и означает, что функция непрерывна в точке .

Пример 2. Исследовать на непрерывность в точке следующие функции:

а) ; б)

Решение:

а) функция определена в окрестности точки , но в самой точке она не определена, следовательно, в этой точке она не является непрерывной (не выполнено первое условие непрерывности);

б) для исследования на непрерывность воспользуемся определением 2. В точке функция определена (), т. е. первое условие непрерывности выполнено; второе условие также выполняется: ; ; третье условие непрерывности не выполняется, так как . Следовательно, данная функция также не является непрерывной в точке .