2) Решение исходного уравнения ищем в виде

, считая в предыдущем решении произвольную

постоянную зависящей от (говорят: варьируя произвольную

постоянную ). Для нахождения подставим это решение в

исходное уравнение:.

После сокращения получаем уравнение с разделяющимися

переменными для нахождения .

­­____

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Решение ОДУ второго порядка вида

сводится к решению ОДУ первого порядка с помощью

замены .

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Решение ОДУ второго порядка вида

сводится к решению ОДУ первого порядка с помощью замены

на зависимую переменную .

_____

Определение Нормальной системой обыкновенных дифференциальных уравнений (НСОДУ) называется система вида

,

где функции непрерывны на открытом множестве , а последовательность неизвестных функций называется решением системы. Число называется порядком НСОДУ.

Определение Если - решение НСОДУ в окрестности точки , то кривая в называется интегральной кривой.

Определение Пусть . Задачей Коши для НСОДУ с начальными условиями называется задача нахождения решения системы в окрестности точки , которое удовлетворяет этим условиям.

Пример Решение задачи Коши для ОДУ го порядка с начальными условиями равносильно нахождению решения задачи Коши для НСОДУ

с начальными условиями .

Определение Функция удовлетворяет условию Липшица по переменным на множестве , если

ТЕОРЕМА 7.1 Пусть функции

непрерывны на открытом множестве и удовлетворяют

условию Липшица по на любом замкнутом ограниченном

подмножестве в . Тогда в окрестности точки

существует единственное решение задачи Коши для

НСОДУ с начальным условием . Если

отказаться от условия Липшица, то решение задачи Коши

существует, но оно, вообще говоря, неединственное.

Определение Нормальной системой линейных дифференциальных уравнений (НСЛДУ) называется система вида

или в матричной форме где - искомое решение на ; ; - матрица непрерывных на коэффициентов; - матрица непрерывных на свободных членов.

Определение НСЛДУ называется однородной, если , и неоднородной в противном случае.

Определение Последовательность решений однород ной НСЛДУ называется фундаментальной системой, если векторы линейно независимы. Определитель и матрица

называются соответственно вронскианом и фундаментальной матрицей (матрицей Вронского) НСЛДУ.

Последняя есть пример функциональной матрицы.

Определение Производной функциональной матрицы

называется функциональная матрица ; интегралом функциональной матрицы на отрезке называется числовая матрица .

ЗАМЕЧАНИЕ 1) Постоянную матрицу-множитель можно

выносить за знак интеграла и производной: ,

. 2) .

Доказательство следует непосредственно из определения. Докажем, например, 2).

.

ТЕОРЕМА 7.2 (Свойства решений НСЛДУ)

1) существует единственное решение на

задачи Коши с начальным условием .

2) Систем решений фундаментальна на отрезке

тогда и только тогда, когда ;

3) Если система решений фундаментальна на , то

общее решение однородной НСЛДУ имеет вид

.

4) Если - какое-либо (частное) решение неоднородной НСЛДУ,

то общее (любое) решение этой НСЛДУ имеет вид

,

где - фундаментальная система.

5) если известна фундаментальная система , то частное

решение неоднородной НСЛДУ можно вычислить по формуле

, а решение задачи Коши с начальным

условием - по формуле Коши

, где .

Определение Если - фундаментальная матрица НСЛДУ, то матрица называется переходной (импульсной) матрицей этой системы.

ЗАМЕЧАНИЕ 1) Переходная матрица является решением задачи

Коши для матричного уравнения с функциональной

матрицей размера и начальным условием ,

где есть единичная матрица.

2) Переходная матрица не зависит от выбора фундаментальной системы и

полностью определяется матрицей коэффициентов НСЛДУ.

3) В терминах переходной матрицы формула Коши принимает вид

.

_____

Определение Линейным дифференциальным уравнением -го порядка (ЛДУ) называется ОДУ вида

, (1)

где функции непрерывны на . ЛДУ называется однородным, если и неоднородным в противном случае.

Определение Последовательность решений однородно ЛДУ -го порядка называется линейно независимой на , если в каждой точке векторы линейно независимы.

Определение Последовательность линейно независимых на решений однородного уравнения называется фундаментальной.

Определение Определителем Вронского и фундаментальной матрицей однородного ЛДУ называются соответственно

,

где есть последовательности линейно независимых решений.

ТЕОРЕМА 7.3 (свойства решений ЛДУ -го порядка)

1) задача Коши с начальным условием

имеет единственное решение на .

2) Решения однородного ЛДУ линейно независимы на

тогда и только тогда, когда .

3) Если - фундаментальная последовательность

решений однородного ЛДУ, то любое (общее) его решение имеет

вид

4) Если -какое-либо решение ЛДУ (1) и - фундамен

тальная последовательность решений, то любое (общее) решение

ЛДУ можно записать в виде .

5) Если известна фундаментальная последовательность ,

то решение задачи Коши для уравнения (1) можно искать по

формуле Коши для этого уравнения

,

где есть алгебраическое дополнение соответствующего

элемента фундаментальной матрицы .

Определение Матрицы называются подобными, если существует невырожденная матрица (матрица перехода от к) со свойством .

Определение Если к множеству собственных векторов,

соответствующих собственному числу добавить нулевой вектор,

то получим подпространство пространства в . Его

называют подпространством собственных векторов.

Цель параграфа - обосновать подобные рассуждения в общем случае.

Определение Если - собственный вектор, соответствующий собственному числу , то ым присоединенным вектором матрицы к называется вектор со свойством .

Определение Вектор имеет высоту , если

.

ЗАМЕЧАНИЕ Вектор высоты является -ым

присоединенным вектором к собственному вектору .

Обратно, -ый присоединенный вектор имеет высоту .

Определение Последовательность собственного и присоединенных к нему векторов называется жордановой цепочкой длины матрицы . То есть длина жордановой цепочки совпадает с высотой ее последнего присоединенного вектора.

ЗАМЕЧАНИЕ Пусть собственные векторы, образующие

жордановы цепочки , линейно независимы

и порождены одним и тем же собственным числом . Тогда все

векторы, составляющие эти цепочки, линейно независимы.

В силу сделанного замечания жорданова цепочка имеет длину . Из импликации следует такая цепь вложений

.

Так как каждый ненулевой вектор из является собственным или присоединенным (высотой ), то есть входит в какую-то цепочку, то эти пространства, начиная с некоторого , обязаны совпадать.

Определение Наименьшее число , начиная с которого все подпространства совпадают, называется показателем нильпотентности матрицы , а подпространство - корневым подпространством матрицы .

ЗАМЕЧАНИЕ Корневое подпространство является инвариант

ным относительно матричного оператора:

,

и образовано из нуля и всех собственных и присоединенных

векторов, соответствующих собственному числу .

­­­­­­_____

Определение Система цепочек  называется жордановым базисом корневого подпространства .

ЗАМЕЧАНИЕ По построению  есть число жордановых

цепочек длины . Оно вычисляется по формуле

. ( 1 )

Общее число цепочек, составляющих базис  равно

.

_____

Определение Суммой подпространств векторного пространства называется множество

.

Из определения следует такое

ЗАМЕЧАНИЕ - подпространство.

Определение Сумма ненулевых подпространств называется прямой, если .

Обозначение .

Определение Квадратную матрицу , элементами

которой являются многочлены , можно представить в виде матричного многочлена , где - матрица-коэффициент при . Если , то называется матричным многочленом n-ой степени.

Определение Многочлен называется аннулирующим многочленом матрицы , если многочлен от матрицы равен нулевой матрице: .

ЗАМЕЧАНИЕ (теорема Гамильтона-Кели) Характеристический

многочлен матрицы является ее аннулирующим

многочленом.

СЛЕДСТВИЕ Если - показатель нильпотентности матрицы

, где есть нуль порядка характеристического

многочлена матрицы , то .

ТЕОРЕМА 7.4 Пусть есть

характеристический многочлен матрицы , - показатель ниль

потентности матрицы и - жорданов базис корневого

подпространства . Тогда

(=)

и есть базис в (в ), если все собственные

числа вещественные (не все вещественные).

Определение Построенный в теореме базис называется жордановым базисом матрицы .

Определение Матрица есть матрица оператора умножения на в естественном базисе пространства (). Найдем матрицу этого оператора в жордановом базисе. Столбцы искомой матрицы по определению составлены из коэффициентов разложения элементов вида или вида в жордановом базисе. Поэтому искомая матрица образована матрицами вида

, ( 2 )

размер которых совпадает с длиной цепочки, в которую входит . Эти матрицы «нанизаны» на главную диагональ, а элементы вне этих

матриц равны нулю. Так построенная квазидиагональная матрица называется жордановой нармальной формой (ЖНФ) матрицы и обозначается . Матрицы вида (2) называются -жордановыми клетками соответствующего порядка.

ТЕОРЕМА 7.5 (свойства подобных матриц)

1) Матрицы и подобны, причем матрица ,

столбцами которой являются элементы жорданова базиса ,

является матрицей перехода от к .

2) ЖНФ матрицы не зависит от выбора жорданова базиса и

единственная с точностью до перестановки клеток.

3) Характеристические многочлены подобных матриц совпадают.

.

4) Если матрицы , и - жорданов базис

матрицы , то будет жордановым базисом матрицы .

5) Две квадратные матрицы одинакового размера подобны тогда и

только тогда, когда их жордановы нормальные формы совпадают.

АЛГОРИТМ (построения матрицы перехода и ЖНФ)

1) Находим собственные числа как корни характеристического

уравнения .

2) Для каждого собственного числа описываем неубывающую

последовательность подпространств и

вычисляем ранги матриц, останавливаясь, как только ранги

стабилизируются. В результате получаем показатель нильпотент

ности и количества жордановых клеток одинакового размера

.

3) Для каждого собственного числа Находим в параметрической

форме расширяющуюся последовательность подпространств

решений однородных СЛАУ . В

каждом из подпространств выделяем множество линейно

независимых присоединенных векторов, не принадлежащих

предыдущему подпространству. по ним образуем цепочки. Из

полученных цепочек составляем базисы корневых

подпространств, а из этих последних – жорданов базис .

4) Из координат элементов базиса как из столбцов составляем

матрицу перехода , а по показателям нильпотентности и

соответствующим числам - ЖНФ .

В связи со сделанным замечанием дадим такое

Определение Переход от жордановой нормальной формы с комплексными элементами и матрицей перехода к вещественным матрицам и называется операцией овеществления жордановой нормальной формы.

ЗАМЕЧАНИЕ (решение НСЛДУ с постоянными коэффициента

ми методом расщепления) Пусть требуется найти общее решение НСЛДУ . Подставляя в систему и делая замену , получаем новую НСЛДУ . Эта система распадается на более простые независимые НСЛДУ в количестве, равном числу клеток Жордана матрицы . Число таких подсистем, вообще говоря, уменьшится, если мы овеществим ЖНФ.

______

Интерполяционные многочлены понадобятся для получения формулы Коши решения НСЛДУ с постоянными коэффициентами. Сплайны же естественно излагать вместе с интерполяционными многочленами.

Определение Задачей простой интерполяции на последователь

ности попарно различных узлов называется задача нахождения многочлена , принимающего в этих узлах наперед заданные значения .

ЗАМЕЧАНИЕ Многочленом наименьшей степени, решающим

задачу простой интерполяции, является интерполяционный

многочлен в форме Лагранжа

,

где .

Определение Задачей кратной интерполяции на последовательности попарно различных узлов с кратностями соответственно называется задача нахождения многочлена , принимающего в этих узлах вместе со своими производными до порядка включительно наперед заданные значения .

ЗАМЕЧАНИЕ Многочленом наименьшей степени ,

решающим задачу кратной интерполяции, является интерполяционный

многочлен в форме Эрмита

,

где .

_____

Определение Сеткой с узлами на отрезке называется

разбиение .

Определение Сплайном степени на сетке называется функция , имеющая на непрерывные производные до -го порядка включительно, которая совпадает на каждом отрезке с каким-либо многочленом степени и хотя бы на одном отрезке – с многочленом степени .

Пример 1 - линейный сплайн. Его график есть ломаная.

Пример 2 - кубический сплайн. Он является дважды непрерывно дифференцируемой на функцией, а его график составлен из кубических парабол.

АЛГОРИТМ (построения кубического сплайна)

1) Заданы узлы, соответствующие значения в узлах и два

дополнительных значения первой или второй производной на

каком-либо из концов. .

2) Обозначим . Тогда из определения кубического сплайна

следует .

Неизвестные находим из условий : .

Подставляя их в , получаем рабочую формулу

3) Из условий , получаем основную СЛАУ

c уравнениями и неизвестными . Добавляем к ним

два уравнения со значениями .

4) Решаем полученную СЛАУ, и решение подставляем в рабочую

формулу .

Определение Кубический сплайн называется естественным, если два дополнительных условия имеют вид , и периодическим, если они имеют вид и .

_____

Ниже нам понадобятся некоторые определения и результаты из функционального анализа.

Определение Последовательность элементов нормированного пространства называется сходящейся к элементу , если . Последовательность элементов назы вается фундаментальной, если .

ЗАМЕЧАНИЕ Каждая сходящаяся последовательность фундаментальна. Обратное, вообще говоря, неверно.

Определение Нормированное пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится, называется полным (банаховым).

ЗАМЕЧАНИЕ 1) Пространство матриц со скалярным

произведением является полным.