Указания к выполнению контрольной работы № 1

Тема 1. Определители. Решение систем линейных уравнений

Знакомство с использованием определителей начните с простейшего случая решения и исследования системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Изучите свойства определителей второго, а затем третьего порядка.

Особое внимание обратите внимание на то, что вычисление определителей часто упрощается, если умело пользоваться свойствами определителей.

При изучении вопросов, связанных с исследованием систем линейных уравнений, не упустите из виду случай, когда определитель системы равен нулю. В этой ситуации формулы Крамера теряют смысл и соответствующие системы уравнений либо несовместны, либо имеют бесчисленное множество решений.

Вопросы для самопроверки

1. Перечислите свойства определителей.

2. Какие способы вычисления определителей вы знаете?

3. Какой вид имеют формулы Крамера? В каком случае их можно применять?

4. Сформулируйте условие, при котором система линейных уравнений имеет единственное решение.

5. При каком условии система линейных однородных уравнений имеет ненулевое решение?

Тема 2. Элементы аналитической геометрии на плоскости

При изучении этой темы, прежде всего, следует усвоить понятие уравнения линии. Подобно тому, как точка в аналитической геометрии определяется числами (координатами точки), линия определяется уравнением, связывающим координаты любой точки этой линии (уравнением линии). Прямая линия является простейшей из линий на плоскости. Изучите различные способы нахождения уравнения прямой. Успех решения задач, связанных с прямыми на плоскости, во многом зависит от умелого выбора соответствующего вида уравнения прямой.

Вопросы для самопроверки

1. Как определяются декартовы координаты точки на плоскости.

2. Чем отличаются координаты двух точек, симметричны относительно: а) оси Ox; б) оси Oy; в) начала координат?

3. Как вычислить расстояние между двумя точками?

4. Напишите формулы для координат середины отрезка через координаты его концов.

5. Напишите формулы для координат точки пересечения медиан треугольника через координаты его вершин.

6. Дайте определение уравнения линии на плоскости.

7. Как найти координаты точки пересечения двух линий на плоскости, заданных своими уравнениями?

8. Чем отличается уравнение прямой в декартовых координатах от уравнений других линий?

9. Напишите формулу для вычисления угла между двумя прямыми.

10. Как выглядит условие параллельности и перпендикулярности двух прямых.

11. Напишите уравнение прямой, проходящей: а) через заданную точку в заданном направлении; б) через две заданные точки.

12. Как написать уравнение медианы, высоты в треугольнике, если известны координаты его вершин?

13. Сформулируйте определения эллипса, гиперболы, параболы. Каковы канонические уравнения этих линий?

14. Что называется эксцентриситетом эллипса и гиперболы и какие значения он может иметь для каждой из этих линий?

Тема 3. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве

В основе этой темы лежит понятие вектора и его координат на плоскости и в пространстве. Узловыми моментами являются действия с векторами: сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число, скалярное и векторное умножение двух векторов, смешанное произведение трёх векторов. Особое внимание следует обратить на непростое определение векторного произведения векторов и на область применения каждого вида произведений векторов при решении задач геометрии (вычислении углов, площадей, объёмов).

После подробного изучения элементов векторной алгебры следует перейти к обсуждению вопросов, связанных с составлением уравнений плоскости и прямой в пространстве.