Указания к выполнению контрольной работы № 5

Тема 1. Дифференциальные уравнения

Для того чтобы успешно решить задачи этой темы, следует особое внимание обратить на следующие типы дифференциальных уравнений:

1. однородные уравнения первого порядка,

2. линейные уравнения первого порядка,

3. уравнение Бернулли,

4. линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами,

5. линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и с правой частью уравнения, представленной произведением показательной функции и многочлена.

Однородным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение вида

,

если функция удовлетворяет условию

.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка легко приводятся к виду

,

где правая часть зависит лишь от отношения аргументов.

С помощью подстановки это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида

,

где , – заданные непрерывные функции от аргумента х. Решение линейного уравнения ищут в виде , где и – новые неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение , , будем иметь

или

.

Если подобрать так, чтобы выражение, содержащееся в квадратной скобке, обращалось в нуль, то последнее уравнение преобразуется к следующей системе уравнений:

каждое из которых есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Этим же приемом можно найти решение и уравнения Бернулли

где , – заданные непрерывные функции от x, n = 0, n ≠ 1.

Линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

,

где p, q – действительные числа.

Чтобы найти общее решение этого уравнения, достаточно найти два линейно независимых частных решения, для отыскания которых следует прежде решить квадратное уравнение (которое называют характеристическим уравнением)

.

Если корни характеристического уравнения k₁, k₂ действительны и различны, то общее решение Y исходного дифференциального уравнения имеет вид

(С₁, С₂ = const)

Если корни характеристического уравнения действительны и равны, т. е. k₁ = k₂, то общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид

.

Наконец, если характеристическое уравнение не имеет вещественных корней (т.е. его дискриминант p² – 4q отрицателен), то общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид

,

где ; .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

,

где многочлен степени n может быть представлено в виде

,

где Y – общее решение соответствующего линейного однородного уравнения, – какое-либо частное решение указанного неоднородного уравнения. Для отыскания пользуются следующим правилом:

1. если число y не является корнем характеристического уравнения, то

,

где – многочлен степени с неопределенными коэффициентами;

2. если γ совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то

;

3. если оба корня характеристического уравнения равны γ, то

.