Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте теорему существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.

2. Что называется общим решением дифференциального уравнения?

3. Что называется частным решением дифференциального уравнения?

4. Какой вид имеет дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными? Как найти общее решение (общий интеграл) этого уравнения?

5. Какое уравнение называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка? Как найти его общий интеграл?

6. Приведите пример линейного дифференциального уравнения первого порядка. Как найти его общее решение?

7. Каковы свойства решений линейных однородных уравнений второго порядка?

8. Какой вид имеет общее решение линейного однородного уравнения второго порядка?

9. Укажите вид общего решения линейного неоднородного уравнения второго порядка.

Тема 2. Ряды

Для решения задач этой темы необходимо усвоить несколько признаков сходимости для числовых рядов (необходимый признак сходимости, признаки сравнения рядов, признак Даламбера, признак Лейбница). Далее изучите понятия абсолютной и условной сходимости числовых рядов. Разберите метод отыскания радиуса сходимости степенного ряда, основанный на признаке Даламбера.

В приложениях степенных рядов к приближенному вычислению определенного интеграла вам потребуются следующие разложения элементарных функций в степенные ряды:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Обратите внимание на то, что приближенное вычисление определенного интеграла нередко приводит к представлению его в виде суммы сходящегося знакочередующегося ряда с невозрастающими по абсолютной величине членами. При вычислении такого интеграла с требуемой точностью нужно просуммировать столько членов соответствующего ряда, чтобы абсолютная величина первого отброшенного члена не превосходила заданной точности.

При изучении рядов Фурье обратите внимание на способы разложения в ряд Фурье функции, заданных на отрезке . Если эту функцию продолжить на отрезок четным образом, то полученное при этом разложение в ряд Фурье будет содержать лишь косинусы кратных дуг и будет представлять данную функцию на заданном отрезке [0, e]. Аналогично поступают, если требуется представить функцию, заданную на отрезке [0, e] тригонометрическим рядом, содержащим лишь синусы кратных дуг.

Вопросы для самопроверки

1. Какой ряд называется сходящимся (расходящимся)?

2. Сформулируйте необходимое условие сходимости ряда.

3. Сформулируйте признаки сравнения знакоположительных рядов.

4. В чем состоит признак Даламбера?

5. Для каких рядов применяется признак Лейбница? В чем его сущность?

6. Как найти радиус сходимости степенного ряда?

7. Сформулируйте теорему о почленном дифференцировании степенного ряда.

8. как вычисляются коэффициенты ряда Маклорена для заданной функции?

9. Напишите разложения в ряд Маклорена функций e^x, sin x, cos x, arctg x, arcsin x, (1 + x)ⁿ.

10. Как используются степенные ряды в приближенных вычислениях?