1.1. Предыстория

С числами и действиями над ними знакомство происходит еще в школе. Числа в зависимости от своих свойств образуют множества натуральных, целых, рациональных и вещественных чисел.

Интуитивно ясно, что по смысловому содержанию множество представляет собой некоторую совокупность неких объектов. На этот счет люди задумывались уже в давние времена. Для демонстрации определенной условности самого понятия множества Евбулид, представитель логической школы эллинов предложил следующую апорию (вымышленная логически верная конструкция). На стол кладется одно зерно и задается вопрос - это куча зерна? Ответ естественно отрицательный. Затем кладется второе, третье, другие зерна и вопрос каждый раз повторяется вновь. Рано или поздно ответ окажется утвердительным, т.е. на столе по нашему представлению будет находиться куча зерна, отождествляемая с множеством. Затем, начинается обратная процедура изъятия из кучи одного зерна с последующим вопросом - оставшиеся зерна образуют кучу или нет. Эта процедура может повторяться до тех пор, пока на столе не останется последнее зерно или, дойдя до логического конца, не будет уже ни одного зерна. Таким образом, переход от качественного понятия “несколько” к “множество” и обратно осуществляется одним единственным зерном, что свидетельствует об отсутствии критерия, позволяющего четко разделять эти два понятия.

Элегантный выход из создавшегося положения нашел великий немецкий математик Георг Кантор (1845-1919 гг.), предложив философское определение множества, которое по своей сути звучит так. Множество М  совокупность различимых между собой объектов нашей интуиции и интеллекта, мыслимая как единое целое. Эти объекты называются элементами множества М. В данном контексте разница между “несколько” и “множество” нивелируется вплоть до совокупности, не содержащей ни одного элемента, называемой пустым множеством.

Понятие множества является одним из основополагающих в математике. Оно отражает наше понимание существования конечных и бесконечных совокупностей не только в природе (яблоки на дереве или звезды во вселенной), но и в нашем сознании (например, бесконечная последовательность чисел 1,2,3,… ).

В целостном виде теорию множеств Кантор представил миру в ХIХ веке. Он показал, что, как конечные, так и бесконечные множества можно сравнивать, оценивать их мощность, а также возможно производить над множествами ряд специфических математических операций. Теоретико-множественные идеи нашли себе широчайшее применение в различных разделах математики: числовые множества в математическом анализе, множества точек в геометрии, множества случайных событий в теории вероятностей, множества высказываний в математической логике.

В дальнейшем множества будут идентифицироваться прописными, а их элементы  строчными буквами. Например, запись 𝑎А означает, что объект 𝑎 является элементом множества А, а СВ выражает факт принадлежности множества С множеству В, вследствие чего множество С называется подмножеством В.

Множество не содержащее ни одного элемента называется пустым и обозначается . Очевидно, что В (у любого множества имеется пустое подмножество).

Пример 1. Фраза “для любого числа 𝑎 множества А найдется такой число 𝑏 множества В, большее 𝑎, вследствие чего множество С является подмножеством В и не имеет общих элементов с А” записывается так:  𝑎А  𝑏В : 𝑎<𝑏 ⇒ СВ и С∩А=.

Пример 2. Если  множество натуральных четных чисел, а  множество натуральных чисел кратных 3, то общие элементы этих множеств кратны 6, т.е. делятся на 6 нацело:

={𝑛N: 𝑛/2N}, ={𝑛N: 𝑛/3N} ⇒ ∩ ={𝑛N: 𝑛/6N}.

Очевидно N и N, где N  множество натуральных чисел.

Пример 3. Окружность единичного радиуса с центром в начале координат описывается с помощью теоремы Пифагора как геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от центра:

L=.