2. 9. Условная вероятность

Информация, полученная в ходе случайного эксперимента, может изменить вероятность некоторых исходов в последующих испытаниях. Например, если из урны с несколькими разноцветными шарами извлечен единственный имеющийся в ней черный шар, то вероятность достать потом еще один черный шар равна нулю.

Вероятность события А при условии, что произошло событие В, называется условной и обозначается Р(А|В).

Если при бросании кубика А=”выпало 2”, В=”выпало четное число”, С=”выпало 3”, то

Р(А) = Р(С) = , Р(В) = = , однако Р(А|В) = , Р(А|С) = 0.

На этом примере видно, что в случайном эксперименте с N равновозможными и несовместными исходами при расчете вероятности события А при условии, что произошло событие В общее число исходов сокращается до количества исходов благоприятствующих В. Иными словами событие А рассматривается на фоне В. Таким образом за общее число исходов принимается количество исходов благоприятных для В, а за количество исходов благоприятных для А берется число исходов благоприятных для А и В одновременно, т.е. благоприятных для произведе-

ния АВ.

Условная вероятность рассчитывается по формуле

Р(А|В) = .

Делением числителя и знаменателя на общее число исходов N находим

Р(А|В) = = .

Эта формула при Р(В)  0 принимается за определение вероятности события А при условии, что произошло событие В.

Из этой формулы следуют такие свойства условной вероятности:

1. Р(А|А) = 1.

2. В Ì А Þ Р(А|В) = 1.

3. Р(Ω|В) = 1, Р(∅|В) = 0 при В ≠ ∅.

4. Для несовместных событий и

Р(+|В) = Р(|В) + Р(|В).

5. Ввиду коммутативности произведения событий АВ=ВА находим

Р(АВ)= Р(А|В) Р(В)

∥

Р(ВА)= Р(В|А) Р(А).

Пример. Из урны с 4-мя белыми и 6-ю черными шарами последовательно извлекаются два шара без возвращения. Какова вероятность того, что первый шар белый, а второй - черный (событие А).

Решение данной задачи по классической схеме дает следующий результат. Всего в эксперименте N = = 10·9 = 90 исходов по числу упорядоченных пар, образуемых из 10 шаров. Благоприятных исходов m(А)=4·6=24 поскольку белый шар может быть выбран 4-мя способами, каждый из которых может комбинировать с любым из 6-ти способов выбора черного шара. Убедиться в этом, как и ранее помогает числовая таблица, в которой белые и черные шары условно перенумерованы, а комбинации их номеров оформлены с помощью слеша.

	1 2 3 4 5 6
1 2 3 4	1\1 1\2 1\3 1\4 1\5 1\6 2\1 2\2 2\3 2\4 2\5 2\6 3\1 3\2 3\3 3\4 3\5 3\6 4\1 4\2 4\3 4\4 4\5 4\6

В итоге находим искомую вероятность

Р(А)= = .

Решим эту же задачу с помощью условной вероятности. Если за событие Б принять извлечение белого шара, а Ч - черного, то событие А можно представить в виде А=БЧ, и тогда следуя формальной схеме условной вероятности получим расчетную формулу Р(А)=Р(БЧ)=Р(Б|Ч)Р(Ч), которая предполагает извлечение первым черного шара, что противоречит постановке задачи. Однако это противоречие мнимое и преодолеть его помогает свойство коммутативности произведения случайных событий, используя которое находим Р(А)=Р(БЧ)= Р(ЧБ)=Р(Ч|Б)Р(Б). Теперь расчетная формула полностью соответствует схеме выбора шаров.

Поскольку из урны с 10-ю шарами первым извлекается белый шар, то Р(Б)= = . Черный шар извлекается из урны уже с 9-ю шарами, из которых 6 черных и потому Р(Ч|Б)== . В итоге получаем Р(А)=, что находится в полном согласии с классической вероятностью. Данный пример показывает, что использование условной вероятности требует грамотного применения соответствующей схемы на основе содержательного анализа исходных данных, тогда как ее формальное применение может завести в тупик.

Наряду с несовместностью случайных событий важным понятием является их независимость, определяемая как отсутствие влияния одного события на вероятность другого события.

Событие А не зависит от события В, если

Р(А|В)=Р(А),

т.е. условная вероятность совпадает с безусловной.

Для произведения независимых событий А и В получаем равенство

Р(АВ)=Р(А|В)Р(В)=Р(А)Р(В),

которое озвучивается так: вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей. Это равенство может быть также использовано в качестве определения независимости случайных событий.

Если А не зависит от В, т.е. Р(А|В)= Р(А), тогда и В не зависит от А, что доказывается цепочкой простых преобразований

Р(В|А) = = = = = Р(В).

Примеры независимости случайных событий дают эксперименты с бросанием кубика или монеты, в которых одни и те же события в разное время происходят с одной и той же вероятностью, т.е. вероятности событий  постоянные величины:

Р(=”утром выпал орел”)= Р(=”вечером выпал орел”)= Р(|)=.

Рассмотренную выше парную независимость случайных событий следует отличать от независимости в совокупности. Случайные события называются независимыми в совокупности, если они попарно независимы и каждое из них не зависит от произведения любого набора из остальных событий. В случае независимости событий в совокупности вероятность их произведения равна произведению вероятностей:

Р(

Пример. Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,6. Какова вероятность хотя бы одного попадания в серии из трех выстрелов?

Обозначим - попадание в мишень при -й попытке. Поскольку попадание и промах образуют полный набор событий, то промах - имеет вероятность Р() = 1- Событие А = “хотя бы одно попадание” противоположно событию В = “три промаха”, которое в принятой системе обозначений представляется в виде В= , т.е. А= . Поскольку = = В, то А + В = Ω. Далее, промахи независимы в совокупности, т.к. в соответствии с условиями задачи их вероятность постоянна (не зависит от промахов в других выстрелах). Эти факты позволяют вычислить искомую вероятность события следующим образом:

Р(А) = 1- Р(В) = 1- = 1- = 0,936.

Необходимо отметить, что проверить решение данной задачи с помощью числовой таблицы в соответствии с классической схемой не позволяет то обстоятельство, что попадания и промахи неравновозможны.