- •Контрольная работа для студентов сокращенной формы обучения групп зпгс-11,12 , зса-11, зтгв-11. Требования к оформлению и общие методические указания по выполнению контрольной работы.
- •1. Кинематика поступательного движения.
- •2. Кинематика поступательного и вращательного движения.
- •3. Динамика. Работа, энергия. Законы сохранения.
- •4. Динамика вращательного движения.
- •5. Динамика вращательного движения. Работа, энергия. Законы сохранения энергии и момента импульса.
- •6. Упругие свойства твердых тел.
- •7. Механические колебания и волны.
- •8. Механика жидкостей и газов.
- •Библиографический список
7. Механические колебания и волны.
; ; – смещение из положения равновесия, скорость и ускорение колеблющейся точки;
– дифференциальное уравнение гармонических колебаний;
– возвращающая сила при гармонических колебаниях;
; ; ; (здесь – модуль кручения) – период колебаний пружинного, математического, физического и крутильного маятников;
; – закон сохранения энергии;
; – амплитуда и начальная фаза результирующего колебания при сложении однонаправленных колебаний одинаковой частоты;
– уравнение траектории точки, колеблющейся с одинаковыми частотами в перпендикулярных направлениях;
– дифференциальное уравнение затухающих колебаний;
– круговая частота собственных незатухающих колебаний;
– коэффициент затухания;
– сила сопротивления при затухающих колебаниях;
– уравнение затухающих колебаний;
– круговая частота затухающих колебаний;
– амплитуда затухающих колебаний;
– логарифмический декремент затухания;
– добротность;
(здесь ) – дифференциальное уравнение вынужденных колебаний;
; ; – смещение из положения равновесия, амплитуда и фаза вынужденных колебаний; – резонансная частота;
, – уравнения плоской и сферической волн;
– волновое число (волновой вектор);
– длина волны;
; – скорость распространения продольных и поперечных волн в твердом теле;
– скорость звука в газе;
– скорость распространения поперечной волны по струне.
-
Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной l=35 см. Определить, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальной.
-
Период колебаний крутильного маятника Т1=4 с. Если на расстоянии R=0.5 м от оси колебаний к нему прикрепить шар массой m=0.3 кг, причем радиус шара много меньше расстояния R, то период колебаний станет равным Т2=8 с. Определить момент инерции маятника.
-
Груз массой m подвешен к системе двух параллельно соединенных пружин жесткостями K 1 и K2. Система выведена из состояния равновесия и предоставлена сама себе. Энергия, сообщенная системе, равна W. Написать уравнение колебаний, определить амплитуду и частоту колебаний. Сопротивлением среды пренебречь.
-
Определить отношение кинетической энергии гармонически колеблющейся точки к ее потенциальной энергии, если известна фаза колебания.
-
Точка одновременно участвует в n гармонических колебаниях одинаковой частоты, направленных вдоль одной прямой: А1sin(wt+j1), А2sin(wt+j2), ... Аnsin(wt+jn). Определить амплитуду и фазу результирующего колебания.
-
Материальная точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях: x=2cos(πt/2) и y=-cos(πt) (смещение из положения равновесия - в м, время – в секундах). Определить уравнение траектории точки.
-
Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 1 минуту уменьшилась вдвое. Во сколько раз она уменьшится за 3 минуты?
-
Частота колебаний стального шарика радиусом R=0.01 м, прикрепленного к пружине, в воздухе ω0=5.0 с-1, а в жидкости ω=4.06 с-1. Определить вязкость жидкости.
-
Под действием силы F=Аcos(ωt) (A=2 Н, ω=π/3 рад/с) движется тело массой 100 г. Начальная скорость тела равна нулю. Найти зависимость кинетической энергии тела от времени и определить ее максимум.
-
Источник незатухающих гармонических колебаний движется по закону S0=A×sin(ωt). Определить смещение от положения равновесия, скорость и ускорение точки через t=1 с, находящейся на расстоянии l=340 м от источника, если скорость распространения плоских волн равна 340 м/с, А=5 мкм, ω=3140 рад/с.
-
Вагон массой 80 т имеет 4 рессоры. Жесткость пружин каждой рессоры 500 кН/м. При какой скорости вагон начнет сильно раскачиваться вследствие толчков на стыках рельс, если длина рельса 12.8 м?
-
Написать уравнение результирующего колебания, получающегося в результате сложения двух взаимно-перпендикулярных колебаний с одинаковой частотой 0.5 Гц и с одинаковой начальной фазой 600. Амплитуда одного колебания равна 10 см, другого 5 см.
-
Груз массой 500 г, подвешенный на пружине, коэффициент жесткости которой 50 Н/м, помещен в масло. Коэффициент сопротивления в масле r=0.5 кг/с. На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону F=sin(w t) (сила – в ньютонах, время – в секундах). При какой частоте вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний будет максимальна? Чему равна максимальная амплитуда? Какова будет амплитуда вынужденных колебаний, если частота вынуждающей силы вдвое меньше резонансной?
-
Математический маятник длиной 24.7 см совершает затухающие колебания. Через сколько времени энергия колебаний маятника уменьшится в 9.4 раза? Логарифмический декремент затухания равен 1.
-
На вертикально отклоняющие пластины осциллографа поданы напряжения U1=5sin(ωt+π/3), U2=10sin(ωt+π/6) и U3=15sin(ωt+π/9) (напряжение – в вольтах, время – в секундах). Определить амплитудное значение напряжения для результирующего колебания.
-
Звуковые колебания с частотой 500 Гц и амплитудой 0.25 мм распространяются в воздухе. Длина волны 70 см. Найти скорость распространения колебаний и максимальную скорость частиц воздуха.
-
Точка участвует одновременно в двух взаимно-перпендикулярных колебаниях x=cos(pt) и y=cos(0.5pt) (смещение из положения равновесия - в метрах, время – в секундах). Найти траекторию движения точки.
-
Точка участвует одновременно в двух взаимно-перпендикулярных колебаниях x=2cos(wt) и y=3sin(0.5w t) (смещение из положения равновесия – в метрах, время – в секундах). Определить траекторию точки.
-
Складываются два колебания одного направления и одной частоты: x1=sin(pt) x2=sin(p(t+0.5)) (смещение из положения равновесия - в метрах, время – в секундах). Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания, написать уравнение колебания.
-
Маленькое тело совершает колебания x=2sin(0.25pt-0.5p) (смещение из положения равновесия - в метрах, время – в секундах). Найти амплитуду, период, начальную фазу, максимальную скорость и максимальное ускорение тела.
-
Точка колеблется гармонически по закону косинуса. Амплитуда колебаний 5 см, круговая частота 2 рад/с, начальная фаза равна нулю. Определить ускорение точки в момент, когда величина ее скорости равна 8 см/с. Записать уравнение колебаний.
-
Точка совершает гармонические колебания по закону синуса. В некоторый момент времени смещение точки было равно 7 см. При увеличении фазы вдвое смещение точки стало 12 см. Найти амплитуду колебаний.
-
Через какой промежуток времени после начала колебаний смещение точки из положения равновесия будет равно половине амплитуды, если период колебаний 24 с, начальная фаза равна нулю, а колебания происходят по закону косинуса?
-
Период колебаний материальной точки 2.4 с, амплитуда 5 см, начальная фаза равна нулю. Найти смещение, скорость и ускорение колеблющейся точки через 0.4 с после начала колебаний. Колебания происходят по закону косинуса.
-
Написать уравнение гармонических колебаний, если максимальное ускорение точки 49.3 см/с2, период колебаний 2 с, смещение точки из положения равновесия в начальный момент времени 25 мм.
-
Точка совершает гармонические колебания по закону косинуса. В некоторый момент времени смещение точки 5 см, ее скорость 20 см/с, ускорение равно 80 см/с2. Найти циклическую частоту, амплитуду и период колебаний, фазу колебаний в рассматриваемый момент времени.
-
Амплитуда колебаний материальной точки массой 3 г равна 15 см, круговая частота 10 рад/с. Определить максимальную величину возвращающей силы и максимальную кинетическую энергию точки.
-
На тело, совершающее гармонические колебания с периодом 1 с и начальной фазой p/6, действует максимальная возвращающая сила 17.5 Н. При этом полная энергия колебаний 2.85 Дж. Написать уравнение колебаний. Колебания происходят по закону косинуса.
-
Материальная точка массой 10 г совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид: x=0.2sin(8pt) (смещение из положения равновесия - в метрах, время – в секундах). Найти значение возвращающей силы в момент времени 0.1 с и кинетическую энергию точки в данный момент времени.
-
Материальная точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид: x=0.1sin(5pt) (смещение из положения равновесия - в метрах, время – в секундах). Масса точки 50 г. Найти силу, действующую на точку: 1) в тот момент, когда фаза колебаний равна 300; 2) в положении наибольшего отклонения точки.
-
Математический маятник массой 100 г совершает гармонические колебания по закону x=0.25sin(2pt) (смещение из положения равновесия - в метрах, время – в секундах). Определить натяжение нити в момент времени t=T/2.
-
Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид: x=0.05sin(2t) (смещение из положения равновесия - в метрах, время – в секундах). В момент, когда на точку действовала возвращающая сила 5 мН, точка обладала потенциальной энергией 0.1 мДж. Найти фазу колебаний в этот момент времени.
-
Определить период колебаний груза массой 5 кг, подвешенного к пружине, если пружина под действием силы в 40 Н растягивается на 6 см.
-
Логарифмический декремент затухания математического маятника равен 0.2. Найти, во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за одно полное колебание, то есть за время t=T.
-
Чему равен логарифмический декремент затухания математического маятника, если за 1 минуту амплитуда колебаний уменьшилась в два раза? Длина маятника 1 м.
-
Логарифмический декремент затухания колебаний маятника равен 0.003. Сколько полных колебаний должен сделать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в 2 раза?
-
Скорость звука в воде 1450 м/с. На каком расстоянии находятся ближайшие точки, совершающие колебания в противоположных фазах, если частота колебаний равна 731 Гц?
-
Сферическая волна распространяется от источника колебаний вдоль прямой OX. Смещение точки из положения равновесия для момента времени t=T/2 составляет 5 см. Точка удалена от источника колебаний на расстояние, равное l/3. Определить амплитуду колебаний. Колебания источника происходят по закону косинуса.
-
Плоская волна с периодом 1.2 с и амплитудой 2 см распространяется со скоростью 15 м/с. Чему равно смещение точки, находящейся на расстоянии 45 м от источника волн в тот момент, когда от начала колебаний источника прошло 4 с?
-
Плоская звуковая волна распространяется в воздухе при н.у. вдоль прямой со скоростью 20 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстоянии 12 м и 15 м от источника, колеблются с разностью фаз 0.75p. Найти длину волны, написать уравнение волны и найти смещение обеих указанных точек в момент времени, равный 1.2 с, если амплитуда колебаний 10 см.
-
Смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 4 см от источника колебаний, колеблющегося по закону: x=sin(ωt), в момент времени t=T/6 равно половине амплитуды. Найти длину волны. Волна плоская.
-
Уравнение незатухающих колебаний дано в виде x=sin(2.5pt) (смещение из положения равновесия - в см, время – в секундах). Найти смещение от положения равновесия, скорость и ускорение точки, находящейся на расстоянии 20 см от источника колебаний, для момента времени 1 с после начала колебаний. Скорость распространения волны 100 м/с. Волна плоская.
-
К неподвижной опоре подвесили пружину жесткостью К=100 Н/м с грузом массой m=50 г. Пружину растянули на 10 см и, отпуская, подтолкнули вдоль оси пружины в направлении положения равновесия, сообщив грузу скорость υ0=2 м/с. Далее пружина с грузом предоставлены сами себе. Записать уравнение колебаний, определить амплитуду колебаний. Сопротивлением среды пренебречь.
-
Груз массой m подвешен к системе двух последовательно соединенных пружин жесткостями K 1 и K2. Система выведена из состояния равновесия и предоставлена сама себе. Энергия, сообщенная системе, равна W. Написать уравнение колебаний, определить амплитуду и частоту колебаний. Сопротивлением среды пренебречь.
-
Два точечных источника колебаний, отстоящие на расстоянии d=10 м друг от друга, колеблются по одинаковому закону y=0.25sin(8pt) (смещение из положения равновесия - в метрах, время – в секундах). Написать уравнение колебаний в точке А, лежащей на продолжении прямой, соединяющей первый источник со вторым, на расстоянии х=7 м от второго. Скорость распространения плоских волн равна скорости звука в воздухе при нормальных условиях.
-
Найти модуль Юнга металла, если скорость звука в нем υ= 4700 м/с, а его плотность ρ=8.6.103 кг/м3.
-
Определить разность фаз колебаний двух точек среды, находящихся на расстоянии 0.1 м друг от друга, если в среде распространяется плоская волна вдоль линии, соединяющей эти точки. Скорость распространения волны υ=340 м/с, частота колебаний источника 1000 Гц.
-
Изображенную на рис.1 систему вывели из исходного состояния покоя так, что пружину 1 растянули на величину 5 см, а пружину 2 сжали на величину 10 см. Какую траекторию будет описывать грузик массой 100 г, если жесткость пружин К1=4К2=5 Н/см?
-
Два точечных когерентных источника звуковых волн одинаковой мощности находятся в воздухе при н.у. на расстояниях l1=2.5 м и l2=2.4 м от микрофона. Определить отношение амплитуд результирующего и исходного колебаний, если длина волны λ=0.3м.
-
На вертикально отклоняющие пластины осциллографа подаются два одинаково направленных колебания: Uy1=10sin(ωt-π/6), и Uy2=5cos(ωt), на горизонтально отклоняющие Uх=8.66cos(ωt) (напряжение – в вольтах, время – в секундах). Определить траекторию луча на экране.
-
Обруч диаметром 56.5 см висит на гвозде, вбитом в стену, и совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найти период этих колебаний.
-
Начальная фаза колебаний точки равна π/3, период колебаний Т=0.06 с. Определить ближайшие моменты времени, в которые модули скорости и ускорения в 2 раза меньше амплитудных значений. Колебания происходят по закону синуса.
-
При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний с одинаковой частотой и амплитудами, равными 0.02 и 0.04 м, получается гармоническое колебание с амплитудой 0.05 м. Найти разность фаз складываемых колебаний.
-
На тонкой нити длиной 1 м подвешен шар радиуса r=0.1 м. Определить относительную погрешность в определении периода колебаний, если маятник считать математическим.
-
Период затухающих колебаний 4 с, логарифмический декремент затухания 1.6, начальная фаза равна нулю. Смещение точки из положения равновесия в момент времени t=T/4 равно 4.5 см. Написать уравнение этого колебания.
-
Для звуковой волны, описываемой уравнением , где амплитуда выражена в метрах, круговая частота – в с-1, волновое число – в м-1, найти: а) амплитуду скорости частиц среды и ее отношение к скорости распространения волны; б) отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны.
-
Период колебаний крутильного маятника, состоящего из тонкого кольца массой 5.10-2 кг, соединенного спиральной пружиной с осью вращения, равен Т=4 с. Определить радиус кольца при жесткости пружины K=10-2 Н.м. Трением пренебречь.
-
Начальная амплитуда колебаний математического маятника А0=0.2 м. Амплитуда после 10 полных колебаний А10=0.01 м. Определить логарифмический декремент затухания и коэффициент затухания, если период колебаний Т=5 с. Записать уравнение колебаний.
-
Математический маятник массой m=0.10 кг совершает гармонические колебания по закону y=0.5sin(2πt) (смещение из положения равновесия - в м, время – в секундах). Определить натяжение нити в момент времени t=Т/2.
-
Как изменится период вертикальных колебаний груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если от последовательного соединения пружин перейти к их параллельному соединению?
-
На концах вертикального стержня укреплены два груза. Центр тяжести этих грузов находится ниже середины стержня на 5 см. Найти длину стержня, если период малых колебаний стержня с грузами вокруг горизонтальной оси, проходящей через его середину, равен 2 с. Массой стержня по сравнению с массой грузов пренебречь.
-
Тело движется под действием силы F=fcos(ωt) по закону x=Сsin(ωt) (f=2 Н, С=10 см, ω=π/3 рад/с). Найти работу силы за время от t=0 до t=20 с. Найти работу силы и ее среднюю мощность за время t=Т.
-
На тело массой m действует сила, изменяющаяся по закону F=Аcos(ωt), где А=2 Н, ω=π/3 рад/с. Найти закон движения тела x(t) при условии, что в начальный момент времени смещение из положения равновесия и начальная скорость равны нулю. Установить, что такое движение является колебательным. Определить период колебаний, наибольшее значение x и наибольшее значение скорости.
-
Однородный стержень совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Длина стержня 50 см. Найти период колебаний стержня.
-
Ось вращения стержня проходит на расстоянии 10 см от его конца. Длина стержня 50 см. Найти период малых колебаний.
-
Обруч диаметром 56.5 см висит на гвозде, вбитом в стену, и совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найти период колебаний обруча.
-
Какой наименьшей длины надо взять нить, к которой подвешен однородный шарик диаметром 4 см, чтобы при определении периода малых колебаний шарика можно было рассматривать его как математический маятник? Ошибка при таком допущении не должна превышать 1%.
-
Стальная полоска зажата с одного конца и расположена горизонтально. На другом конце полоски закрепляют груз, масса которого значительно больше массы полоски. При наличии груза полоска изгибается и ее не зажатый конец опускается на 4 см. С какой частотой будет колебаться груз, если его толкнуть в вертикальном направлении? С каким ускорением будет двигаться колеблющийся груз в тот момент, когда полоска полностью выпрямится?
-
Шарик подвешен на длинной нити. Один раз его поднимают по вертикали до точки подвеса, другой раз – отклоняют, как маятник, на небольшой угол. В каком случае и во сколько раз шарик быстрее возвратится к начальному положению, если его отпустить?
-
Маятник в виде грузика, подвешенного на нити длиной 50 см, колеблется в кабине самолета. Каков период его колебаний, если самолет: а) движется равномерно; б) движется горизонтально с ускорением 2.5 м/с2; в) планирует вниз под углом 150 к горизонту (лобовым сопротивлением самолета пренебречь)?
-
Маятник в виде маленького шарика, подвешенного на нити длиной 10 см, находится внутри жидкости, плотность которой в n=1.2 раза меньше плотности шарика. Определите период колебаний маятника, пренебрегая сопротивлением жидкости и принимая, что эффективная масса при движении шарика в жидкости увеличивается на величину, равную массе вытесненной жидкости.
-
Маятник представляет собой очень легкий стержень длиной 45 см, на концах которого закреплены два одинаковых груза – один на расстоянии 30 см от оси, другой на расстоянии 15 см от оси. Найти период колебаний такого маятника.
-
Однородный диск радиусом R подвешен за край. Чему равна частота его малых колебаний относительно точки подвеса?