Методичні вказівки

У будь-якій р-вій системі числення додавання виконується порозрядно аналогічно складанню десяткових чисел на підставі таблиць складання. Якщо результат складання двох цифр в даному розряді в р-вій системі числення більше, ніж р-1, то відбувається перенесення одиниці в старший розряд.

Приклад 1.

а) Виконати складання двійкових чисел.

X=1101.01, Y=101.11;

1101.01

+  101.11

10011.00

Відповідь:10011.

б) Виконати складання вісімкових чисел.

X=7340, Y=671;

7340

+  671

10231

Відповідь:10231.

в) Виконати складання шістнадцятиричних чисел.

X=FC2, Y=E7;

FC2

+ E7

10A9

Відповідь:10a9.

Віднімання в р-вій системі числення також виконується порозрядним стовпчиком по аналогії з десятковою системою числення. Якщо в даному розряді зменшуване число менше за від'ємник, то займається одиниця із старшого розряду. У двійковій системі числення займана одиниця із старшого розряду дорівнює двом одиницям даного розряду.

Приклад 2.

а) Задані двійкові числа X=10010 і Y=101.1. Обчислити X–Y.

10010.0

–  101.1

01100.1

Відповідь: 1100.1.

б) Задані вісімкові числа X=7631 і Y=456. Обчислити X–Y.

7631

–  456

7153

Відповідь: 7153.

в) Задані шістнадцятиричні числа X=1998 і Y=A1F. Обчислити X–Y.

1998

–A1F

F79

Відповідь: F79.

Множення двох багатозначних чисел в р-вій системі числення також виконується по тих же правилах, що і в десятковій системі з послідовним множенням цифр першого співмножника на другий співмножник за допомогою таблиць множення і складання. Якщо складати доводиться більше трьох доданків, то складання доцільно проводити послідовно для уникнення помилок.

Приклад 3.

а) Виконати множення двійкових чисел.

X=1101.01, Y=101.11;

110100

х  10110

1101

+ 1101

100111

+ 1101

10001111000

Відповідь:10001111000.

б) Виконати множення шістнадцятиричних чисел.

X=FFA.3, Y=D.E;

FFA.3

x  D.E

DFAE A

+ CFB4 7

DDAF.5 A

Відповідь: DDAF.5A.

При діленні стовпчиком в р-вій системі числення як проміжні обчислення виконуються дії множення і віднімання. Ділення двійкових чисел зводиться до порівняння цих чисел між собою і віднімання з більшого числа менше. Якщо результат ділення не є кінцевим р-вим дробом, то необхідно виділити неперіодичну частку дробу і її період.

Приклад 4

а) Виконати ділення двійкових чисел 110001.1 і 1001.

110001.1	1001
– 1001	101.1
1101
– 1001
100 1
– 100 1
0

Відповідь: 101.1.

б) Виконати ділення двійкових чисел 1010 і 11.

1010	11
–   11	11.0101.=11.(01)
100
–   11
100
–   11
1

Відповідь: 11.(01).

в) Виконати ділення шістнадцятиричних чисел F127 і 8.

F127	8
– 8	1E24.E
71
– 70
12
–  10
27
–   20
70
–   70
0

Відповідь: 1E24.E.

Складання чисел в зворотному і додатковому кодах має лаву особливостей. Якщо результатом арифметичних дій є код негативного числа, то необхідно додатковий код даного числа перетворити в прямий код. При цьому алгоритм перетворення можна виконати як в зворотному, так і прямому порядку.

Приклад 5.

Знайти значення десяткового числа за його додатковим кодом 10010111.

1. З додаткової коди віднімемо одиницю і отримаємо зворотний код.

10010111

–             1

10010110

2. Інвертуємо зворотний код і отримаємо модуль негативного числа 01101001.

3. Переведемо набутого значення в десяткову систему числення 01101001₂=105.

Відповідь: –105.

В процесі операції віднімання, а саме при складанні зменшуваного числа з додатковим кодом від'ємника, виходить одиниця перенесення в знаковому розряді, яка автоматично відкидається, оскільки виходить за межі розрядної сітки. При складанні чисел в зворотному коді виникаюча одиниця перенесу в знаковому розряді додається до молодшого розряду суми коду.

Приклад 6.

а) Скласти X і Y в зворотному і додатковому кодах.

X= 111, Y= –11.

Складемо числа, користуючись правилами двійкової арифметики: X+Y = 111 – 11 = 100.

Складемо числа, використовуючи різні коди.

Прямий код	Складання у зворотному коді	Складання у додатковому коді
Xпр=0,0000111 Yпр=1,0000011	Xзвор=         0,0000111 Yзвор=         1,1111100                1 0,0000011                                +1 (X+Y)звор= 0,0000100	Xдод=        0,0000111 Yдод=        1,1111101               1)0,0000100 відкидається (X+Y)дод= 0,0000100

Оскільки результат складання є кодом позитивного числа (знаковий розряд містить нульове значення), то (X+Y)_обр=(X+Y) доп=X+Y=100.

Відповідь: 100.

б) Скласти X і Y в зворотному і додатковому кодах.

X= –101,Y= –11.

Складемо числа, користуючись правилами двійкової арифметики X+Y= – 101 –110 = –1011.

Складемо числа, використовуючи різні коди.

Прямий код	Складання у зворотному коді	Складання у додатковому коді
Xпр=1,0000101 Yпр=1,0000110	Xзвор= 1,1111010 Yзвор= 1,1111001               1 1,1110011                               +1 (X+Y) звор= 1,1110100	Xдод= 1,1111011 Yдод= 1,1111010       1) 1,1110101 відкидається (X+Y)дод= 1,1110101

Оскільки сума є кодом негативного числа (знаковий розряд містить одиницю), то необхідно перевести результати в прямий код.

Із зворотної коди:

(X+Y)_обр=1,1110100 (X+Y)_пр=1,0001011.

З додаткового коду:

(X+Y)_доп=1,1110101 (X+Y)_пр=1,0001010+0,0000001=1,0001011.

Таким чином, X+Y= –1011 і отриманий результат збігається із звичайним записом.

Відповідь: –1011.

Оскільки арифметичні дії в мікропроцесорі виконуються в обмеженому числі розрядів, можливі наступні помилки:

• ліві цифри результату, що виходять за розрядну сітку, виявляються загубленими;

• при складанні двох позитивних чисел може вийти негативне число, якщо станеться перенесення одиниці в знаковий розряд.

Приклад 7.

Перевірити правильність результату складання чисел 86 і 104, представлених в 8-розрядному знаковому типові.

X=86	Xпр=0,1010110
Y=43	Yпр=0,0101011
(X+Y)=86+43=129	(X+Y)обр=1,0000001
Результат:           129	(X+Y)пр = 1,1111111 = -127

Результат складання коду позитивних чисел мікропроцесор сприймає як код негативного числа (одиниця в знаковому розряді).

Відповідь: результат невірний.

Вправи

1. Скласти таблиці складання і множення в трійковій, п'ятірковій і вісімковій системах числення.

2. Задані двійкові числа X і Y. Обчислити X + Y і X – Y, якщо: а) X= Y=; б) X= Y=; в) X= Y=; г) X= Y=.

3. Задані двійкові числа X і Y. Обчислити X * Y і X / Y, якщо: а) X= Y=; б) X= Y=; в) X= Y=; г) X= Y=.

4. Виконати наступні арифметичні дії в трійковій системі счисления: а) 21 + 2.1; б) 21 – 10.2; в) 212 · 1210; г) 10 : 2.

5. Виконати наступні арифметичні дії в п'ятірковій системі счисления: а) 1234 + 4321; би) 4321 – 1234; в) 4321 · 123; г) 4322 : 3.

6. Виконати наступні арифметичні дії у вісімковій системі счисления: а) 1357 + 3157; б) 3751 – 1357; в) 321 · 23; г) 137 : 5; д) 157 + 251; е) 145 – 64; ж) 675 + 274; з) 734 – 251.

7. Виконати наступні арифметичні дії в шістнадцятиричній системі счисления: а) ABC + DEF; б) DEF – ABC; в) ABC · 10A; г) 83E : A; д) B159 + 2551; е) FEED – FACE; ж) B785 + 2C84; з) 834E – 2E5A.

8. Виконати наступні дії з виділенням неперіодичній частці і періоду: а) 112 : 1012; б) 100101012 : 11102; в) 103 : 113; г) 43215 : 35.

9. Записати прямій, зворотний і додатковий коди двійкових чисел в знаковому однобайтовому формате:

а) 11010; б) –11101; в) –101001; г) –1001110.

10. Перевести X і Y в прямій, зворотний і додатковий коди восьмирозрядної сітки. Скласти їх в зворотному і додатковому кодах. Результат перевести в прямий код. Перевірити отриманий результат, використовуючи правила двійкової арифметики.

а) X= 11010;  Y= 1001111;	б) X= 11101;  Y= 100110;	в) X= 1110100;  Y= 101101;
г) X= 10110;  Y= 111011;	д) X= 1111011;  Y=–1001010;	е) X= 11011;  Y= 10101.

11. Записати числа десяткові числа X і Y в прямому, зворотному і додатковому кодах в знаковому однобайтовому форматі.

Знайдіть X+Y X–Y Y–X X–X –Y–Y, X–Y.

а) X = 14, Y = 13; б) X = 15, Y = 12; в) X = 18, Y =11; г) X = 100, Y =28.