Представлення цілих чисел

Для представлення цілого числа з однієї системи числення в іншу необхідно, діючи у вихідній системі, ділити представлюване число на нову основу. Отриману частку необхідно знову поділити, і т.д. до одержання неподільної частки. Результат записується як остання частка і залишки в порядку, зворотному до їх одержання.

Наприклад, необхідно перевести число 75₈ з восьмеричної системи числення в десяткову. Десяткова основа у восьмеричній системі представиться як число 12₈. Діючи у восьмеричній системі, ділимо 75₈ на 12₈:

Одержали неподільну частку — 6 і залишок — 1, записані у восьмеричній системі числення. Вони і будуть представляти цифри шуканого десяткового числа 61₁₀.

Розглянемо інший приклад. Нехай потрібно перевести число 135₈ з восьмеричної системи числення в десяткову. Діємо аналогічно:

Одержали неподільну частку— 11₈ і залишок—3₈, що представляють значення цифр шуканого десяткового числа. З огляду на те, що 3₈ = 3₁₀, а 11₈ = 9₁₀, маємо остаточно

135₈=93₁₀.

Нарешті розглянемо приклад переводу числа 118₁₀ з десяткової системи числення в двійкову:

Записуючи неподільну частка і залишки в порядку, зворотному їхній появі, знаходимо

118₁₀=1110110₂

Зворотний переклад двійкового числа в десяткову систему числення простіше здійснити, записавши вихідне двійкове число у виді десяткового полінома:

1110110₂= 1·2⁶+ 1·2⁵+ 1·2⁴+ 0·2³+ 1·2²+ 1·2^l+ 0·2⁰ = 118₁₀.

Проблема двійкового представлення полягає в тому, що числа з основою 2 є дуже довгими і ними не зручно оперувати. Двійкове значення розміром в слово або подвійне слово ще важче читати і використовувати.

У вісімковому представленні, або представленні з основою 8 використовується 3 біта на цифру. На рисунку 1.1, показано яким чином біти двійкового значення 001100100b можна об’єднати в групи по три біта, щоб утворити вісімкове значення 144о.

Рисунок 1.1 – Перетворення двійкового значення 001100100b (десяткове 100) у вісімкове значення 144о.

Найбільш поширеною є шістнадцяткова система числення. На рисунку 2.2 показано як можна розбити на групи біти числа 01100100b, щоб утворилось шістнадцяткове значення 64h.

Рисунок 1.2 – Перетворення двійкового значення 01100100b (десяткове 100) у шістнадцяткове значення 64h.

Як показано на рисунку 1.2, в шістнадцятковій системі числення значення – це “4 біта на цифру”. В результаті шістнадцяткові значення мають довжину, рівну ¼ їх двійкового еквівалента.

Слід зауважити, що шістнадцяткові числа повинні починатися з однієї із цифр 0–9.

Переведення в інші системи числення (трійкову, четвіркову) здійснюється по аналогії.

Унітарне представлення числових значень зазвичай застосовується в лічильниках. Базис Unary використовує тільки одну цифру – “1”, тобто якщо 10 перевести із десяткової системи в унітарну ми отримаємо наступне:

Перевід правильних дробів

Для переводу правильного дробу (без цілої частини) необхідно, діючи у вихідній системі числення, помножити представлюване число на основу нової системи, у результату відокремити цілу частина, а дробову частину, що залишилася, знову помножити на цю основу до одержання потрібного числа значущих цифр. Результат записується як 0, ... і цілі частини добутків у порядку їхнього одержання.

Проілюструємо сказане на прикладі перекладу дробу 0,543 із шестиричної системи числення в троїчну:

Отже, 0,543₆ = 0,221₃.

Перетворення проведено округлено, з точністю до третього знака після коми. Дріб 0,221₃ точно дорівнює дробу 0,532₆, оскільки

тобто 0.532₆=0.221₃.

Отриманий результат цілком справедливий, тому що дріб 0,543₆, раціональний в шестиричній системі числення, може виявитися нераціональним в троїчній системі.

Приведемо приклад зворотного перекладу дробу 0,221₃ у шестеричну систему числення. Відповідно до викладеного вище правила дії повинні проводитися в троїчній системі. Основа шість у цій системі числення виглядає як 20₃. Виконавши послідовні множення в троїчній системі, одержимо

Цілі частини результатів множень записані тут у троїчній системі числення і повинні бути представлені в шестиричній системі:

12₃ = 5₆; 10₃ = 3₆; 2₃ == 2₆. Остаточно маємо результат, аналогічний попередньому: 0,221₃ = 0,532₆.

Треба зазначити, що числа, які відповідають цілим частинам, завжди будуть меншими, ніж основа нової системи числення. Тому вони завжди представляються як цифри системи числення, у яку здійснюється переві правильного дробу.