1.3 Контрольні запитання

1. Які системи числення використовуються для запису чисел в мікропроцесорі і чому?

2. Яким чином представляється число в різних системах числення? (розгорнута і коротка форма запису).

3. Правила переводу цілих в дробових чисел в різні системи числення (скласти і записати алгоритм переводу).

2.Завдання №2 Арифметичні операції в позиційних системах числення

2.1 Основні теоретичні відомості

У всіх позиційних системах числення справедливі одні і ті ж закони арифметики і арифметичні операції виконуються по однакових правилах відповідно до складених таблиць додавання і множення. Найбільш простими є таблиці складання і множення в двійковій системі числення.

Таблиця 2.1 - Складання і множення в двійковій системі числення

+	0	1		х	0	1
0	0	1		0	0	0
1	1	10		1	0	1

На підставі даних таблиць можна скласти правила виконання додавання, віднімання і множення над двійковими числами. Операція ділення виконується за допомогою операцій множення і віднімання.

Таблиця 2.2 - Правила виконання арифметичних операцій над двійковими числами

Двійкове складання	Двійкове віднімання	Двійкове множення
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10	0–0=0 1–0=1 1–1=0 10–1=1	00=0 01=0 10=0 11=1

Аналогічним чином можна скласти таблиці складання і множення і виписати правила виконання арифметичних дій для будь-якої р-вой системи числення.

Таблиця 2.3 - Таблиця складання в шістнадцяткової системі числення

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18
A	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
B	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A
C	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B
D	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C
E	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D
F	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D	1E

Кожен елемент складання дорівнює попередньому в рядку або в стовпці, збільшеному на одиницю.

Таблиця 2.4 - Таблиця множення в шістнадцяткової системі числення

х	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
2	0	2	4	6	8	A	C	E	10	12	14	16	18	1A	1C	1E
3	0	3	6	9	C	F	12	15	18	1B	1E	21	24	27	2A	2D
4	0	4	8	C	10	14	18	1C	20	24	28	2C	30	34	38	3C
5	0	5	A	F	14	19	1E	23	28	2D	32	37	3C	41	46	4B
6	0	6	C	12	18	1E	24	2A	30	36	3C	42	48	4E	54	5A
7	0	7	E	15	1C	23	2A	31	38	3F	46	4D	54	5B	62	69
8	0	8	10	18	20	28	30	38	40	48	50	58	60	68	70	78
9	0	9	12	1B	24	2D	36	3F	48	51	5A	63	6C	75	7E	87
A	0	A	14	1E	28	32	3C	46	50	5A	64	6E	78	82	8C	96
B	0	B	16	21	2C	37	42	4D	58	63	6E	79	84	8E	9A	A5
C	0	C	18	24	30	3C	48	54	60	6C	78	84	90	9C	A8	B4
D	0	D	1A	27	34	41	4E	5B	68	75	82	8E	9C	A9	B6	C3
E	0	E	1C	2A	38	46	54	62	70	7E	8C	9A	A8	B6	C4	D2
F	0	F	1E	2D	3C	4B	5A	69	78	87	96	A5	B4	C3	D2	E1

Обчисленням елементів р-вої таблиці множення є збільшення базової цифри стовпця до числа, що стоїть на одну клітку вище. Очевидно, що будь-яка таблиця складання (множення) через закон комутативності симетрична щодо головної діагоналі.

Будь-яка інформація (дані, команди) представляється вмікропроцесорі у вигляді двійкових кодів. Окремі елементи двійкового коду, що мають значення 0 або 1, називають розрядами або бітами. Тому кожен з однорідних елементів елементу пам'яті комп'ютера, що знаходиться в одному з двох стійких станів і що зберігає один біт двійкової коди називається розрядом. Структурною одиницею представлення двійкової коди є: 8-розрядний формат – байт, 32-розрядний формат – машинне слово, 16-розрядний формат – півслово і 64-розрядний формат – подвійне слово.

Існує два основні типи представлення чисел в комп'ютері – з фіксованою і плаваючою крапкою (комою). Для представлення цілих чисел зазвичай використовується формат з фіксованою крапкою, в якому положення крапки зафіксоване після найправішого розряду. До достоїнств використання формату з фіксованою крапкою відносяться простота виконання арифметичних операцій і висока точність зображення чисел. До недоліків – невеликий діапазон представлення чисел.

В цілях спрощення виконання арифметичних операцій застосовують спеціальні коди для представлення чисел в комп'ютері. Використання код дозволяє звести операцію віднімання чисел до арифметичного складання коду цих чисел. Застосовуються прямий, зворотний і додатковий коди чисел. Прямий код використовується для представлення позитивних і негативних чисел в пристрої комп'ютера, що запам'ятовує. Зворотний і додатковий коди використовуються для заміни операції віднімання операцією складання, що спрощує пристрій арифметичного блоку ЕОМ.

Прямий код двійкового числа збігається по зображенню із записом двійкового числа. Знаковим розрядом зазвичай є старший розряд в розрядній сітці, значення якого для позитивних чисел дорівнює 0, а для негативних чисел 1. Прямий код числа 53 = 110101₂ у восьмирозрядному знаковому уявленні має вигляд:

Таблиця 2.5 - Однобайтовий знаковий формат представлення числа

7 розряд (знаковий)	6 розряд	5 розряд	4 розряд	3 розряд	2 розряд	1 розряд	0 розряд
0	0	1	1	0	1	0	1

Домовляємось, що при записі коду знаковий розряд відокремлювати від інших розрядів комою. Наприклад, якщо для запису коду виділений один байт, то для позитивного двійкового числа 1101 прямий код відповідає запису 0,0001101, а для негативного двійкового числа –1101 прямий код 1,0001101.

Операція віднімання процесором комп'ютера замінюється операцією складання зменшуваного числа з додатковим кодом від'ємника. Для отримання додаткової k-розрядного коду негативного числа необхідно:

• модуль числа представити прямим кодом в k двійкових розрядах;

• інвертувати значення всіх біт і таким чином отримати зворотний код початкового числа;

• до отриманого зворотного коду додати одиницю в молодший розряд і тим самим отримати додатковий код початкового числа.

Зворотний і додатковий код позитивного числа збігається з прямим кодом. Додатковий код чисел в 8-розрядному знаковому уявленні буде наступним:

Початкове число	+13	–13
Прямий код	0,0001101	1,0001101
Прямий код модуля числа	0,0001101	0,0001101
Зворотний код	0,0001101	1,1110010
Додатковий код	0,0001101	1,1110011

Комп'ютерна операція складання цілих чисел виконується через елементарні операції, які реалізовані апаратно, такі як аналіз парності числа, збільшення одиниці, множення і ділення на 2.

Число є парним, якщо молодший розряд дорівнює нулю і непарним – інакше, що справедливо і для запису числа в додатковому коді. Множення двійкового числа на 2 відповідає зміщенню його вліво на один розряд, а цілочисельне ділення на 2 – зміщенню управо.