Поле движущегося заряда. Закон Био-Савара.

Магнитное поле движущегося заряда.

Покоящийся заряд создает в окружающем пространстве только электрическое поле. Это поле изотропно, и центр симметрии электростатического поля определяется только положением заряда.

Если заряд движется со скоростью , то в пространстве появляется выделенное направление, связанное с направлением этого движения. Поэтому создаваемое движущимся зарядом магнитное поле имеет осевую симметрию.

В результате обобщения экспериментальных данных был получен элементарный закон, получивший название закона Био-Савара:

точечный заряд , равномерно движущийся с малой (нерелятивистской, ) скоростью, создает в окружающем пространстве магнитное поле:

,

где - радиус-вектор, проведенный от заряда к точке наблюдения, - магнитная постоянная (с системе СИ Гн/м).

	Конец радиус-вектора неподвижен в данной системе отсчета, а его начало движется со скоростью , поэтому вектор в данной системе отсчета зависит не только от положения точки наблюдения, но и от времени.

В соответствии с приведенной формулой вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы и , причем вращение вокруг вектора в направлении вектора образует с направлением правовинтовую систему.

Магнитное поле тока.

	Найдем магнитное поле, создаваемое элементом тока длиной . Каждый носитель заряда создает в окружающем пространстве магнитное поле:

где - скорость хаотического движения, а - скорость направленного движения (дрейфа) носителей. Вычисляя магнитное поле элемента тока, мы будем исходить из установленного опытным путем принципа суперпозиции. Следуя этому принципу, мы будем считать, что каждый заряд возбуждает поле, совершенно не зависящее от наличия других зарядов.

Число носителей, содержащихся в этом элементе с поперечным сечением :

.

Усредняя по всем носителям, заключенным в объеме , получаем

, т.к. ,

и, умножая на количество носителей, заключенных в объеме , находим

.

Или окончательно

.

Итак, закон Био-Савара: магнитное поле от объемного элемента тока:

,

магнитное поле от линейного элемента тока:

.

Примеры расчета магнитных полей.

1. Вычислим магнитное поле прямого тока, т.е. тока, текущего по тонкому прямому бесконечно длинному проводу.

	Согласно закону Био-Савара в некоторой произвольно выбранной точке все векторы , определяющие вклад элементов тока , имеют одинаковое направление – за плоскость рисунка. Поэтому, учитывая сонаправленность всех элементарных векторов , можно складывать их модули , каждый из которых равен .

Из рисунка следует, что и . Поэтому

.

Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегрированию по углу в пределах от до , находим

2. Сила взаимодействия 2-х параллельных токов.

Индукция поля, создаваемого прямым током , равна . Тогда сила, действующая на элемент прямого тока со стороны тока ,

,

а сила взаимодействия (притяжения) на единицу длины проводника:

2. Магнитное поле на оси кругового тока.

Выделим в правой части витка элемент тока . Этот элемент будет создавать в некоторой точке , лежащей на оси витка, поле . Все элементы кругового тока образуют в рассматриваемой точке конус векторов . Очевидно, что результирующий вектор индукции магнитного поля , создаваемого в точке круговым током, будет направлен вверх по оси . Чтобы найти модуль вектора достаточно сложить проекции векторов на ось .

Проекция на ось вектора от любого элемента кругового тока равна

,

где учтено, что угол между элементом и радиус-вектором равен .

Интегрируя это выражение по (это дает ) и учитывая, что

, ,

получаем, что поле на оси витка на расстоянии от его центра:

В центре витка:

О системах единиц.

Закон взаимодействия токов послужил основой для определения электромагнитных единиц.

1) Посмотрим как строится система СГСЭ (CGSE). Основными в этой системе единиц являются: см, грамм, секунда и единица заряда CGSE из закона Кулона . Следовательно, магнитные величины уже не произвольны. Так, сила, действующая на 1 длины провода , и константа размерны.

Опыты показали, что , где электродинамическая постоянная, которая равна скорости света в вакууме с  310¹⁰ см/с (Максвелл показал, что свет это э/м волна).

2. Система СГСМ (CGSM) строится также как СГСЕ - основные механические единицы те же: см, г, с, но дальше используют закон взаимодействия токов (здесь k=1) для определения единицы силы тока. 1 CGSM_тока равна такому току, который, протекая по бесконечному тонкому проводу, действует на параллельный такой же ток, находящийся на расстоянии в 1 см, с силой в 2 Дн. Тогда в системе имеем законы Ампера и Био-Савара без дополнительных коэффициентов:

3. Система СИ - основные единицы: м, кг, с и сила тока измеряется в А (Амперах). Основа определения силы тока является уравнение:

.

1 Ампер - это ток, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии в 1м в вакууме, вызвал бы силу на 1м каждого проводника, равную 210^-7 Н.

Поток и циркуляция вектора магнитной индукции.

Как и любое векторное поле, магнитное поле может быть наглядно представлено с помощью линий вектора магнитной индукции . Их проводят обычным способом – так, чтобы касательные к этим линиям в каждой точке совпадали с направлением вектора , а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора в данном месте. Геометрическая картина позволяет судить о конфигурации конкретного магнитного поля и значительно облегчает анализ некоторых ситуаций.

Теорема Гаусса для поля вектора . Поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю.

.

Эта теорема является, по существу, обобщением опыта.

Она выражает в постулативной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора не имеют ни начала, ни конца. Поэтому число линий, выходящих из объема, ограниченного замкнутой поверхностью , всегда равно числу линий, входящих в этот объем. Поток вектора сквозь поверхность , ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности . Рассматриваемая теорема выражает и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались или заканчивались бы линии вектора . Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых, по сегодняшним представлениям, в природе нет), а электрические токи.

Стягивая объем, заключенный внутри поверхности к интересующей нас точке поля, или воспользовавшись т. Гаусса-Остроградского , можем записать т. Гаусса для вектора в дифференциальной форме:

.

Полученное выражение имеет фундаментальный характер: оно справедливо не только для постоянных, но и для переменных магнитных полей.

25	Магнитный момент. Закон полного тока. Контур с током в магнитном поле. Работа по перемещению контура с током в магнитном поле. Сила Лоренца. Эффект Холла. Применение МГД явлений в науке и технике.

Теорема о циркуляции вектора (для магнитного поля постоянных токов).

Циркуляция вектора магнитной индукции поля постоянных токов по произвольному замкнутому контуру равна произведению на алгебраическую сумму токов, пронизывающих контур циркуляции.

Докажем эту теорему для прямого тока и контура , лежащего в плоскости, перпендикулярной направлению тока.

.

Согласно закону Био-Савара в каждой точке контура вектор поля прямого тока направлен по касательной к окружности, проходящей через эту точку, а модуль вектора индукции магнитного поля равен

,

где - расстояние от оси тока до интересующей нас точки.

,

где - проекция вектора на направление вектора .

(Здесь элемент контура циркуляции. Не путать с элементом проводника с током!)

Тогда

	Если контур не охватывает ток , то проекции вектора на направление вектора поля тока на противоположных сторонах контура будут иметь обратные знаки. В этом случае

Этот результат легко обобщить на произвольно ориентированный относительно направления тока контур. При этом под следует понимать проекцию угла, под которым виден элемент контура , на плоскость, перпендикулярную направлению тока. Чтобы обобщить полученный результат на случай произвольных токов достаточно воспользоваться принципом суперпозиции для вектора .

Итак, равенство справедливо для любых токов и произвольно ориентированных контуров. Токи суммируются алгебраически. Положительное направление обхода образует правовинтовую систему с направлением тока. Изменение направление обхода контура изменяет знак в правой части уравнения. Токи, не охватываемые контуром, не дают вклада в сумму, стоящую в правой части уравнения.

Если токи распределены непрерывно, то , где - площадь поверхности, опирающейся на контур . В этом случае теорема о циркуляции принимает вид:

Иногда теорему о циркуляции вектора называют законом полного тока.

Тот факт, что циркуляция вектора , вообще говоря, не равна нулю, означает, что магнитное поле не потенциально (в отличие от электростатического). Такое поле называют вихревым или соленоидальным.

Дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора .

К дифференциальной форме теоремы о циркуляции можно также перейти, воспользовавшись т. Стокса.

..

От интеграла, выражающего циркуляцию вектора по замкнутому контуру , переходим к интегралу по поверхности , определяющему поток вектора . Тогда

,

и в силу произвольности выбора контура (поверхности ) получаем

Символом обозначен вектор

.

Формально можно рассматривать как векторное произведение дифференциального оператора

,

на вектор , т.е.

.

Примеры вычисления магнитных полей.

1. Пустотелый проводящий цилиндр радиусом .

   	А. Поле внутри цилиндра. Поскольку внутри цилиндра токов нет, то и . Б. Поле снаружи. По теореме о циркуляции: , откуда и

2. Поле внутри длинного соленоида:

	Выберем контур, проходящий внутри соленоида и снаружи, как показано на рисунке. Легко увидеть из симметрии, что поле внутри направлено вдоль оси соленоида, поэтому циркуляция вектора по перпендикулярным к оси сторонам

контура равна нулю

.

Вне длинного соленоида поле также равно нулю (можно уйти на бесконечность, где поле всегда равно нулю), поэтому циркуляция индукции магнитного поля по выбранному контуру равна:

где плотность витков (количество витков на единицу длины), ток через соленоид.

Итак, поле внутри соленоида равно:

Магнитный момент и магнитное поле витка с током.

Магнитный момент витка с током:

.

Выражение, описывающее магнитное поле , созданное витком с током, по форме в точности совпадает с выражением для напряженности электрического поля электрического диполя:

.