Модуль V Атомна фізика, квантова механіка

Приклад 1. Електрон, початковою швидкістю якого можна знехтувати, пройшов прискорюючи різницю потенціалів U. Знайти довжину хвилі де Бройля λ для двох випадків:

1. U₁ = 51 В;

2. U₂ = 510 кВ.

Розв’язок. Довжина хвилі де Бройля λ частинки залежить від її імпульсу р і визначається за формулою

(1)

Імпульс частинки можна визначити, якщо відома її кінетична енергія Т. Зв’язок імпульсу з кінетичною енергією для нерелятивістського (коли Т« Е₀) і для релятивістського (коли Т≈ Е₀) випадків відповідно виражається формулами

(2)

і

(3)

Формула (1) із врахуванням співвідношень (2) і (3) запишеться відповідно в нерелятивістському і релятивістському випадках:

(4)

(5)

Порівняємо кінетичні енергії електрона, що пройшов задані в умові задачі різниці потенціалів U₁ = 51 В і U₂ = 510 кВ, з енергією спокою електрона і залежно від цього розв’яжемо питання, яку із формул (4) і (5) слід використати для обчислення довжини хвилі

де Бройля.

Як відомо, кінетична енергія електрона, що пройшов прискорюючу різницю потенціалів U,

Т = ⃒е⃒U.

У першому випадку Т₁ = ⃒е⃒U₁ = 51 еВ = 0,51·10^-4 МеВ, що набагато менше енергії спокою електрона Е₀ = m₀c² = 0,51 МеВ. Отже, можна застосувати формулу (4):

У другому випадкові кінетична енергія Т₂ = ⃒е⃒U₂ = 510 кеВ = 0,51 МеВ, тобто рівна енергії спокою електрона. Отже, необхідно застосувати релятивістську формулу (5).

Зауважимо, що в обох випадках енергія електрона взята в джоулях.

Приклад 2. Частинка знаходиться в нескінченно глибокій одновимірній потенціальній ямі шириною l на другому енергетичному рівні. В яких точках ями густина імовірності знаходження частинки співпадає з класичною густиною імовірності?

Розв’язок. Хвильова функція, що описує стан частинки в нескінчено глибокій одновимірній потенціальній ямі шириною l, має вигляд

(1)

де n – номер енергетичного рівня (n = 1, 2, 3…); х – координата частинки в ямі ( 0 ≤ х ≤ l ). Відповідно до фізичного змісту хвильової функції,

⃒ψ⃒² = w, (2)

де w – густина імовірності виявлення частинки в т очці з координатою х. Якщо частинка знаходиться на другому енергетичному рівні (n = 2), то

(3)

Відповідно до принципу відповідності Бора вираз для класичної густини імовірності отримується при n→∞:

(4)

Прирівнюючи за умовою задачі вирази (3) і (4), отримуємо

(5)

Розв’язуючи рівняння (5), знаходимо

(k = 0, 1, 2, 3,….). (6)

В межах потенціальної ями ( 0 ≤ х ≤ l ) таких точок чотири:

Можна також побудувати графічну залежність густини імовірності від координати в межах ями, тобто залежність (3).