Модуль III Електромагнетизм

Приклад 1. По двох довгих прямолінійних провідниках, що знаходяться на відстані 5 см один від одного, течуть струми по 10 А в кожному. Визначити індукцію магнітного поля, створюваного ними в точці, що лежить посередині між провідниками, для випадків:

а) дроти паралельні і струми течуть в одному напрямку; б) дроти паралельні, струми течуть у різних напрямках; в) дроти перпендикулярні, напрямок струмів вказано на рис. 5.

Розв’язок. Результуюча напруженість магнітного поля дорівнює векторній (геометричній) сумі напруженості полів, що створюються кожним струмом окремо.

де Н₁ - напруженість поля, створеного струмом І₁; Н₂ - напруженість поля, створеного струмом І₂.

Якщо Н1 і Н2 спрямовані по одній прямій, то геометрична сума може бути замінена алгебраїчною сумою

При цьому складові Н₁ і Н₂ повинні бути взяті з відповідними знаками. В даній задачі у всіх трьох випадках абсолютні величини напруженостей Н₁ і Н₂ будуть однакові, так як точки вибрані на рівних відстанях від проводів, по яких протікають рівні струми. Обчислимо ці напруженості.

Рис.5

Напруженість магнітного поля, створеного довгим прямим провідником з струмом І на відстані r від нього, визначається в системі СІ за формулою:

.

Підставимо числові значення величин

Н₁ = Н₂ = 10/(2·3,14·0,025) = 63,7 (А/м).

На рис. а, б, в показано напрямок векторів напруженостей H₁ і H₂, знайдених за правилом буравчика. Знайдемо результуючу напруженість для кожного випадку.

У випадках а і б вектори напруженості спрямовані по одній прямій, отже, результату напруженість може бути визначена як звичайна алгебраїчна сума. Приймемо напрямок вгору позитивним, а вниз - від'ємним.

а) В цьому випадку (рис. 5 а)

Н₁ = - 63,7 (А/м),

Н₂ = + 63,7 (А/м).

Тоді

Н = Н₁ + Н₂ = 0.

б) В цьому випадку (рис. 5 б) напруженості направлені по одній прямій в одну сторону, тому

Н = Н₁ + Н₂ = 127,4 А/м.

в) В цьому випадку (рис. 5в) напруженості магнітних полів, створюваних струмами в точці, що лежить посередині між проводами, будуть взаємно перпендикулярні. Результуюча напруженість за величиною і напрямком буде діагоналлю квадрату, побудованого на векторах Н₁ і Н₂.

За теоремою Піфагора знайдемо:

Підставивши в останню формулу числові значення Н₁ і Н₂, отримаємо

в системі СІ:

Н = 90,1 А/м.

Оскільки В = μ₀Н, де μ₀ = 4π·10^-7 Гн/м, то знайти значення магнітної індукції для кожного випадку буде просто.

Приклад 2. Резистор опором R приєднаний до верхніх кінців двох вертикальних мідних стержнів, що знаходяться на віддалі l один від одного (рис.6). Стержні замкнуті мідною перемичкою маси m, яка без

Рис.6

тертя може ковзати по них. В оточуючому просторі створено однорідне магнітне поле з індукцією В, перпендикулярне до площини, в якій розміщені стержні. Перемичку відпустили, після чого вона почала падати без порушення електричного контакту. Нехтуючи опором стержнів, знайти встановлену швидкість v останньої. Прийняти індуктивність одиниці довжини системи стержнів рівною k.

Розв’язок. При падінні перемички площа контура abcd росте і магнітний потік крізь нього збільшується. Згідно з законом Фарадея, в контурі з’являється ерс. індукції, яка створює індукційний струм. Отже, на перемичку ad, крім сили тяжіння mg, діє зі сторони магнітного поля сила Ампера F_А = I[l·B]. Так як для всіх елементів довжини перемички, по якій іде струм, кут між ними і вектором індукції магнітного поля прямий, то

F_А = IВl.

Згідно з правилом Ленца, сила F_А направлена проти сили mg. З ростом швидкості падіння перемички збільшуються ерс. Індукції, сила струму I і, отже, сила Ампера F_А. Швидкість перестане зростати, коли наступить рівновага сил mg і F_А, тобто

mg = IВl. (1)

Із умови (1) можна знайти силу струму I, а останню зв’язати із шуканою швидкістю, застосувавши закон Ома і закон електромагнітної індукції. За законом Ома для замкнутого кола,

I = Е/R, (2)

де Е – ерс., що діє в контурі abcd і рівна сумі:

Е = Е_і + Е_s. (3)

Величина Е_і – ерс. Індукції, що виникає при зміні крізь контур магнітного потоку Ф_і вектора В. Як відомо, ця величина визначається за формулою

Е_і = Blv. (4)

Ведичина Е_s – ерс. Самоіндукції. Вона появляється при зміні крізь контур abcd магнітного потоку Ф_s, створеного індукційним струмом. Цей потік змінюється внаслідок росту площі контуру.

Щоб визначити величину Е_s, врахуємо, що в даному випадку індуктивність контура – величина змінна. Дійсно, індуктивність L = kx, де х – довжина вертикальних стержнів, виміряна на участку, по якому іде струм. При падінні перемички величини х і L зростають.

(5)

Так як при встановленій швидкості падіння перемички I = const, то перший доданок в (5) рівний нулеві і тоді

(6)

Величини Е_і та Е_s мають в даному випадку протилежні знаки, оскільки відповідні їм магнітні потоки Ф_і та Ф_s направлені, згідно з правилом Ленца, протилежно; при цьому обидва потоки ростуть по абсолютному значенню. Враховуючи це, із рівнянь (2) – (4) і (6) знайдемо

I = (Blv – Ikv)/R. (7)

Виключивши із формул (1) і (7) силу струму I, визначимо встановлену швидкість перемички:

(8)

Проаналізуємо отриманий результат.

1. Якщо k = 0, то v = mgR/B²l² і направлена вниз.Так як за наявності індуктивності швидкість, будучи скінченою величиною, направлена також вниз, то приходимо до висновку, що формула (8) справедлива лише при значеннях заланих величин, що задовольняють нерівність

B²l² > mgk. (9)

Вияснимо фізичний зміст цього співвідношення. Із (1) випливає, що значення l, необхідне для рівноваги прикладених до перемички сил, рівне

I = mg/Bl. (10)

Однак індуктивність кола обмежує ріст сили струму в контурі, що відбувається при збільшенні швидкості перемички. Дійсно, із (7) знаходимо

.

Звідси отримаємо, поклавши v → ∞, граничну силу струму:

I_гр = Bl/k. (11)

Співставляючи формули (9) – (11), бачимо, що нерівність (9) еквівалентна очевидній умові I_гр > I. Отже, якщо співвідношення (9) не виконується, то це означає, що сила струму в контурі, обмежена в процесі самоіндукції величиною I_гр, не досягає значення, необхідного для рівноваги сил mg і F_А, прикладених до перемички, ні при яких скінчених значеннях її швидкості. Іншими словами, швидкість перемички необмежено зростає і її встановлене значення недосяжне.

2. Якщо R → ∞, то v → ∞. В цьому випадку струм по контуру не іде і перемичка падає під дією сили тяжіння з прискоренням g.

3. Якщо R = 0 і виконується умова (9), то v = 0: перемичка буде нерухомо висіти в магнітному полі, не дивлячись на дію сили тяжіння. Цей парадоксальний результат можна отримати, якщо охолодити провідники контуру abcd, поміщеного в достатньо сильне магнітне поле, до надпровідного стану.