III. Приклади розв'язування задач та умови розрахунково-графічних завдань Модуль I Механіка

Приклад 1. Матеріальна точка рухається згідно з законом

r = α sin(5t)i + β cos²(5t)j,

де α = 2 м, β = 3 м. Визначити вектор швидкості, вектор прискорення і траєкторію руху точки.

Розв’язок. В даній задачі розглядається фізична система, що складається із одного ідеального об’єкта – матеріальної точки. Заданий формально закон її руху. Отже, наша задача – пряма задача кінематики, яка полягає в знаходженні любого параметра руху за відомим законом руху. Вона розв’язується шляхом послідовного застосування основних законів кінематики. Тому спочатку запишемо компоненти радіус-вектора:

х(t) = α sin(5t),

y(t) = β cos²(5t),

z(t) = 0.

Таким чином, рух матеріальної точки відбувається в площині XOY. Далі визначаємо компоненти вектора швидкості:

v_x(t) = 5 α cos(5t),

v_y(t) = - 10 β cos(5t) sin(5t) = - 5 β sin(10t).

Вектор швидкості буде:

v = 5 α cos(5t)i - 5 β sin(10t)j.

Із рівнянь для компонент вектора швидкості знаходимо компоненти вектора прискорення:

а_x(t) = - 25 α sin (5t),

а_y(t) = - 50 β cos(10t).

Вектор прискорення матиме вигляд:

а = - 25 α sin (5t) i - 50 β cos(10t) j.

Для отримання рівняння траєкторії виключимо час із системи рівнянь для компоненти радіус-вектора:

х/α = sin(5t), y/β = cos²(5t) і

y = 3 – 3х²/4.

Отже, траєкторією руху точки є квадратична парабола, побудувати яку не становитиме труднощів.

Приклад 2. Потенціальна енергія частинки в центральному силовому полі задана як функція віддалі r від центру поля до деякої точки: U(r) = A/r² – B/r,

де А = 6·10^-6 Дж·м²; В = 3·10^-4 Дж·м. Визначити, при яких значеннях r потенціальна енергія і сила, що діє на частинку, мають екстремальні значення; знайти ці екстремальні значення; побудувати графіки залежностіU(r) і F_r(r) (F_r – проекція вектора сили на напрям радіус-вектора r). Яку мінімальну швидкість потрібно надати частинці масою m = 0,2 г, що знаходиться в положенні рівноваги, щоб вона могла віддалитись від центру поля на віддаль R = 10 см або вийти за межі дії поля?

Розв’язок. Частинка знаходиться в потенціальному полі. Потенціальна енергія частинки в цьому полі – задана функція однієї координати r. Судячи з виду функції U(r), початок відліку потенціальної енергії знаходиться на нескінченості: U(∞) = 0. Проекція сили на напрям радіус-вектора r може бути знайжена за формулою

F_r = - dU/dr.

В загальному випадку, коли потенціальна енергія залежить не тільки від віддалі r, але і від напрямку радіус-вектора r, який у сферичних координатах характеризується кутами θ і φ, проекція сили не радіальний напрям F_r = -∂U/∂r. В даному випадку ∂U/∂r = dU/dr. Для заданої функції

F_r = +2А/r³ – В/r².

Оскільки А і В – позитивні сталі величини, то перший доданок зі знаком «+» відповідає силі відштовхування; другий доданок зі знаком «-» - силі притягання. (Радіус-вектор направлений від центра поля до розглядуваної точки. Якщо F_r < 0, то вектор сили F, що діє на частинку, направлений до центра поля, тобто F є силою притягання.) Для визначення екстремальних значень потенціальної енергії U слід знайти значення r, при яких перша похідна dU/dr перетворюється в нуль:

dU/dr = -2А/r³ + В/r²,

-2А/r³ + В/r² = (-2А + Вr) 1/r³ = 0,

звідки dU/dr = 0 при r = r₁ = 2A/B = 4 см.

U₁ = U(r₁) = - 3,8 мДж.

Легко бачити, що dU/dr > 0 при r, трохи більшому за r₁. Отже, знайдене екстремальне значення U = U_min і при r = r₁ розглядувана частинка знаходиться в положенні стійкої рівноваги.

Для побудови графіка U(r) знайдемо ще значення r, при якому U(r) = 0 ( крім r → ∞):

A/r² – B/r = 0,

(А - Вr) 1/r² = 0.

При r = r₀ = A/B = 2 см U(r₀) = 0. Графік показаний на рис. 1а.

Рис.1

Для обчислення екстремальних значень F_r(r) слід знайти значення r, при яких перша похідна d F_r /dr перетворюється в нуль.

d F_r/dr = -6А/r⁴ + 2В/r³ = (-3А + Вr) 2/r⁴,

(-3А + Вr) 2/r⁴ = 0,

звідки d F_r/dr = 0 при r = r¹ = 3A/B = 6 см. При цьому F_r(r¹) = - 0,028 Н.

Знак «-» показує, що при r = r¹ на частинку діє сила притягання. Значення r, при яких F_r = 0, уже відомі: F_r = 0 при r → ∞ і при r = r¹.

Графік F_r(r) показаний на рис. 1б.

Після побудови графіків слід звернути увагу на те, що при русі частинки, наприклад, із нескінченості до центру поля до r = r₁ результуюча сила є силою притягання (F_r < 0) і потенціальна енергія зменшується. Зате кінетична енергія, якщо на частинку не діють ніякі інші сили , крім даного поля, зростає, так як сили поля виконують позитивну роботу. Коли частинка перейде значення r = r₁, вона потрапляє в область, де F_r > 0, тобто в область, де результуюча сила є силою відштовхування. Відповідно потенціальна енергія частинки при зменшенні r збільшується, а кінетична енергія зменшується.

Розглянемо тепер перехід частинки заданої маси із точки r₁, де частинка знаходиться в рівновазі, в точку r₂ = R, рахуючи, що в точці r₁ невідома швидкість v₁ направлена строго по радіус-вектору, а в точці r₂ швидкість v₂ = 0. Для цього врахуємо, що при русі частинки в потенціальному полі у випадку відсутності інших сил повна енергія частинки стала:

ΔU + ΔK = 0.

(Застосування цього рівняння до переходу із положення рівноваги в деякі фіксовані точки (r = R і r → ∞) в припущенні, що в них швидкість перетворюється в нуль, дозволить знайти мінімальні швидкості для виходу із положення рівноваги.)

ΔU₁₂ = U(R) - U(r₁), ΔK = - mv₁²/2.

U(R) - U(r₁) = mv₁²/2.

Звідки

v₁ = (2[U(R) - U(r₁)]/m)^1/2.

Оскільки U(R) = - 2,4·10^-3 Дж, то v₁ = 3,7 м/с.

При r₂→ ∞

ΔU₁₂ = U(∞) - U(r₁), ΔK = - m(v₁¹)²/2.

Тоді

v₁¹ = (2[U(∞) - U(r₁)]/m)^1/2.

Оскільки U(∞) = 0 Дж, то v₁¹ = 6,2 м/с.