3.1.2. Спектр непериодического сигнала

Обратимся теперь к особенностям спектрального представления непериодических сигналов. На практике все используемые для передачи информации сигналы можно условно отнести к 2 классам. К первому классу относятся сигналы, представляющие собой случайную последовательность однотипных импульсов (элементарных сигналов¹), параметры которых (например, амплитуда или длительность) изменяются в соответствии с характером передаваемого информационного сообщения. Так, на рис. 3.3 представлена последовательность сигналов, форма которых одинакова, но амплитуды и полярность изменяются случайным образом.

Рис. 3.3. Последовательность сигналов со случайным значением амплитуды

Второй класс образуют сигналы, структура которых далека от каких-либо регулярных составляющих, например, шумовой сигнал, наводимый разнообразными внешними источниками в приемной антенне, или речевое сообщение¹, фрагмент которого длительностью 3 с представлен на рис. 3.4 (амплитуда для простоты принята равной 1 В).

Рис. 3.4. Речевой сигнал

Отсутствие свойства периодичности у таких сигналов не позволяет применить к ним разложение в ряд Фурье. Однако для них оказывается возможным применение другого подходя, являющегося, на самом деле, более общим – спектрального представления сигнала s(t) с помощью интеграла Фурье:

, (3.5)

где S(ω) – спектральная функция, или просто, спектр непериодического сигнала, вычисляемая как

. (3.6).

Функция S(ω) является аналогом коэффициентов {c_k} в том смысле, что величина описывает распределение средней мощности сигналов по спектральным составляющим, а именно, следующее выражение (3.7) аналогично (3.4) представляет собой равенство Парсеваля для непериодического сигнала:

, (3.7)

однако получающаяся при картина вообще говоря уже не является дискретной. Исходя из этого, величину обычно называют спектральной плотностью средней мощности сигнала, или просто спектральной плотностью, которая, как следует из (3.7), обладает свойством симметричности и убыванием к нулю при возрастании своего аргумента (последнее, разумеется, вытекает из конечности энергии сигнала).

Заметим, что фигурирующая в (3.3) и (3.7) величина T имеет различный смысл: для периодического сигнала это значение интервала периодичности, в то время как для непериодического сигнала T является временем наблюдения за сигналом. С другой стороны, как уже было сказано выше, сигнал может представлять собой случайную последовательность однотипных импульсов, в параметры которых заложена передаваемая информация, и в этом случае время наблюдения T можно трактовать как объединение временных интервалов, в пределах которых существуют одиночные сигналы. Так, можно задать (сформировать) или измерить за время последовательность

, (3.8)

состоящую из N одиночных сигналов A(t), каждый из которых определен на интервале и равен нулю вне его. При этом амплитуда таких сигналов равна либо , что соответствует, например, символу “1” (логическая единица), либо , что соответствует символу “0” (логический нуль)¹. Верхний индекс (k) осуществляет “привязку” значений d к k-му интервалу .

На рис. 3.5 приведен вид последовательности сигналов (3.8), соответствующей последовательности логических символов 10010111, когда имеют форму прямоугольников, высотой A₀, т.е.

. (3.9)

Рис. 3.5. Последовательность сигналов, соответствующих символам 10010111

Теоретически и экспериментально установлено [4], что при достаточно общих предположениях о свойствах одиночных сигналов A(t) спектральная плотность всей последовательности определяется спектральной плотностью составляющих ее одиночных сигналов.

Несмотря на то, что аналитическое вычисление спектров периодических и непериодических сигналов по формулам (3.2) и (3.6) представляет собой сложную математическую задачу, в настоящее время разработаны различные методики приближенного вычисления спектральных характеристик сигналов, ориентированные, прежде всего, на цифровые методы обработки сигналов. Такие методы реализованы программно и аппаратно как в разнообразных радиотехнических устройствах и системах, так и в специализированной телекоммуникационной аппаратуре.

На рис. 3.6 представлен вид спектра речевого сигнала, приведенного на рис. 3.4. Значения представлены в нормированном виде

,

где – максимальное значение спектральной плотности. Видно, что, спектр речевого сигнала не является дискретным, хотя и может содержать ярко выраженные дискретные составляющие.

Рис. 3.6. Спектр речевого сигнала