Основные уравиения длинной линии

При синусоидальном напряжении источника питания напряжение и ток в линии на любом расстоянии х от ее начала изменяются во времени. Вместе с тем напряжение и ток изменяются вдоль линии. Установившийся режим. в длинной линии представляется довольно сложной пространственно-временной картиной, для изучения которой необходимо получить аналитическую зависимость напряжения и тока от двух независимых переменных — времени и расстояния.

Решить такую задачу можно используя схему замещения однородной линии (см. рис. 26.2). На схеме кроме параметров некоторого элемента длины линии dx обозначены напряжение и ток в начале и конце этого элемента, расположенного на расстоянии х от начала линии.

Падение напряжения в элементе длины dx линии

Разность токов в начале и конце того же элемента равна сумме тока утечки и емкостного тока:

Из этих выражений получают дифференциальные уравнения однородной линии, в которые входят комплексы токов . и напряжений, изменяющихся во времени по синусоидальному закону, а также их производные по переменной координате х:

где — полное сопротивление единицы линии (определяется продольными параметрами)

— полная проводимость единицы длины (определяется поперечными парамётрами линии).

Продольные R0, L0 и поперечные G0, С0 параметры линии характеризуют совершенно различные физические явления, поэтому между собой не связаны.

Далее можно составить уравнения, в которых переменными будут напряжение или ток. Для этого дифференцируем по х уравнения (26.1):

учитывая выражения (26.1), получим линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Решением первого уравнения из (26.2) является выражение

Уравнение тока получим

Характеристики длинной линии

В выражениях (26.3) и (26.4) А1 и А2 — постоянные коэффициенты, определяемые условиями в начале или конце линии; у—коэффициент распространения электромагнитной волны по линии (коэффициенты выражаются комплексными числами):

Учитывая формулу (26.5), запишем другое уравнение тока:

или

где величина

имеет размерность сопротивления и называется волновым сопротивлением линии.

Постоянные коэффициенты А1 и А2 нетрудно найти, если известен режим в начале линии, т. е. даны U1 и I1.

Из уравнений (26.3) и (26.6) при х = 0

Отсюда

Отношение комплекса напряжения к комплексу тока в начале линии называется входным сопротивлением линии.

Входное сопротивление линии при нагрузке Z2 можно определить через входные сопротивления при холостом ходе Zx и коротком замыкании Zк:

Коэффициент распространения электромагнитной волны у как комплексную величину можно представить в алгебраической форме у = δ + jβ.

Этот коэффициент, имея два слагаемых, характеризует две стороны электромагнитного процесса в линии: затухание амллитуд и изменение фазы напряжения и тока в зависимости от расстояния от начала линии.

В соответствии с этим действительная часть комплекса δ называется коэффициентом затухания, а мнимая часть ‚β—коэффициентом фазы.

Коэффициент затухани δ показывает степень затухания амплитуды колебаний при распространении волны на единицу длины.

На рис. 26.4 показан график распределения напряжения вдоль линии в некоторый фиксированный момент времени. Из графика видно, что напряжение вдоль линии распределено по периодическому закону, а амплитуды напряжения затухают по экспоненциальному закону в направлении от начала к концу линии.