Задачи для подготовки к защите ргр № 2 «Элементы векторной алгебры»

№1. Даны векторы и . Найдите координаты вектора .

№2. Найдите координаты и длину вектора если

№3. Найдите скалярное произведение векторов и если длина вектора равна 5, длина вектора равна 4, а угол между векторами и равен

№4. Найдите скалярное произведение векторов и , если

№5. Найдите косинус угла между векторами и , если

№6. Найдите значение при котором векторы и перпендикулярны.

№7. Найдите векторное произведение векторов и .

№8. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах и

№9. Найдите площадь треугольника АВС, если

№10. Найдите значения и , при которых векторы и коллинеарны.

№11. Найдите смешанное произведение векторов

№12. Найдите объем пирамиды если

№13. Выясните, лежат ли точки , , , в одной плоскости.

7. Образец ргр № 3 «Элементы аналитической геометрии на плоскости»

№1. Даны координаты вершин треугольника: А(-3;-2), В(0;10), С(6;2).

Найдите:

1. длину стороны АВ;

2. уравнение стороны АВ;

3. уравнение высоты СН и её длину;

4. внутренний угол А;

5. уравнение медианы СЕ;

6. уравнение прямой, проходящей через вершину В параллельно стороне АС;

7. точку пересечения медиан;

8. уравнение окружности, где СН — диаметр.

№2. Дано уравнение эллипса. Построить эллипс. Найти полуоси, координаты вершин, фокусов, эксцентриситет.

№3. Даны действительная полуось и эксцентриситет = гиперболы. Построить гиперболу и найти координаты вершин, фокусов, уравнения асимптот гиперболы.

№4. Дано уравнение параболы . Построить параболу и найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы.

Теоретические вопросы для подготовки к защите ргр № 3 «Элементы аналитической геометрии на плоскости»

1. Расстояние между двумя точками на плоскости.

2. Деление отрезка в данном отношении. Координаты середины отрезка

3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Определение углового коэффициента.

4. Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении

5. Уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки.

6. Общее уравнение прямой, его частные случаи

7. Уравнение прямой в «отрезках на осях».

8. Формула для нахождения угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых..

9. Расстояние от точки до прямой.

10. Определение и каноническое уравнение окружности.

11. Определение и каноническое уравнение эллипса. Эксцентриситет, фокусы эллипса.

12. Определение и каноническое уравнение гиперболы. Эксцентриситет, фокусы, уравнения асимптот гиперболы.

13. Определение и каноническое уравнение параболы. Фокус, уравнение директрисы параболы (рассмотреть 4 вида параболы).

14. Парабола, как график квадратного трехчлена.

Задачи для подготовки к защите ргр № 3 «Элементы аналитической геометрии на плоскости»

№1. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(–2;4), В(6;–2), С(8;7).

Найти:

1. длину стороны АВ;

2. уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты;

3. внутренний угол А;

4. уравнение высоты СD и ее длину;

5. уравнение и длину медианы АЕ;

6. уравнение окружности, для которой СD служит диаметром;

7. точку пересечения медиан;

8. уравнение прямой, проходящей через точку А, параллельно стороне СD.

9. систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

№2. Найдите координаты центра и радиус окружности .

№3. Найдите полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса . Построить кривую.

№4. Составьте каноническое уравнение эллипса, зная, что расстояние между фокусами, которые лежат на оси Ox, равно 10, а большая ось равна 16.

№5. Составьте каноническое уравнение эллипса, зная, что один из фокусов имеет координаты , а малая полуось равна 4.

№6. Составьте каноническое уравнение эллипса, зная, что большая полуось a=12, а эксцентриситет равен 0,5.

№7. Постройте гиперболу . Найдите: 1) полуоси; 2) координаты фокусов; 3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот.

№8. Составьте уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, если ее фокусы лежат на оси Ox, и расстояние между ними равно 10, а длина действительной оси равна 8.

№9. Составьте уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, если один из ее фокусов имеет координаты (-13;0), а эксцентриситет равен .

№10. Постройте параболу . Найти координаты фокуса и уравнение директрисы.

№11. Составьте уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, а фокус имеет координаты (0; -3).