Самостоятельная работа «Построение математических моделей задач линейного программирования»

Линейное программирование – это раздел прикладной математики, посвященный методам нахождения наибольших или наименьших значений линейной функции многих переменных, т.е. функции вида:

причем переменные x_j (j=1, 2, …, n) должны удовлетворять дополнительным условиям, имеющим вид линейных уравнений или (и) неравенств:

где a_ij, b_i, c_j (i=1, 2,…, m; j=1, 2, … , n) – заданные постоянные числа.

Обычно в задачах линейного программирования на переменные налагаются еще условия неотрицательности: x_j  0 (j=1, 2, …, n).

Линейная функция z называется целевой функцией или функцией цели, а дополнительные условия называются ограничениями. Решение задачи линейного программирования состоит в нахождение переменных x_j, которые удовлетворяют системе ограничений и минимизируют (максимизируют) целевую функцию.

Рассмотрим задачу оптимального планирования производства красок на фабрике. Фабрика выпускает два типа красок: для внутренних (I) и наружных (E) работ. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта А и В.

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на тонну краски, т		Максимально возможный запас, т
	краска Е	краска I
А	1	2	6
В	2	1	8

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более, чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны краски равны: 3000 руб. для краски Е и 2000 руб. для краски I. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Итак, требуется спланировать объем производства красок так, чтобы максимизировать прибыль. Поэтому переменными являются x_I – суточный объем производства краски I и x_Е – суточный объем производства краски Е.

Суммарная суточная прибыль от производства x_I тонн краски I и x_Е тонн краски Е равна z = 3000x_Е + 2000x_I . Задача заключается в определении среди всех допустимых значений x_I и x_Е таких, которые максимизируют суммарную прибыль, т.е. целевую функцию z.

Налагаем ограничения на x_I и x_Е.

x_I , x_Е >= 0 – объем производства красок не может быть отрицательным.

2

– ограничения на расход исходного продукта

x_I + x_Е <=6

x_I + 2x_Е <=8

x

– ограничения на величину спроса краски

_I - x_Е <=1

x_I <=2

В итоге математическая модель имеет следующий вид:

z = 3000x_Е + 2000x_I  max

при следующих ограничениях:

2x_I + x_Е <=6

x_I + 2x_Е <=8

x_I - x_Е <=1

x_I <=2

x_I , x_Е >= 0

Данная модель является линейной, т.к. целевая функция и ограничения линейно зависят от переменных.

Выполнение работы

На листе Excel создайте таблицу:

	A	B	C
1	Переменные
2	xE	xI
3
4	Функция цели		=3000*A3+2000*B3
5
6	Ограничения
7	=A3+2*B3	6
8	=2*A3+B3	8
9	=B3-A3	1
10	=B3	2

Установите курсор в ячейку С4, выполните пункт меню Сервис/Поиск решения. Установите переключатель Равной максимальному значению. В поле Изменяя ячейки укажите ячейки А3:В3.

Для ввода ограничений щелкните по кнопке Добавить, в поле ссылка на ячейку укажите А7:А10, установите  и в поле ограничение укажите диапазон В7:В10. Нажмите кнопку Добавить. Введите ограничение: А3:В3  0. После ввода ограничений щелкните по кнопке ОК.

Нажмите кнопку Параметры и в диалоговом окне установите флажок Линейная модель. Для получения результата щелкните по кнопке Выполнить.

По окончании решения задачи в ячейках листа получите следующие результаты.

	A	B	C
1	Переменные
2	xE	xI
3	3.333333	1.333333
4	Функция цели		12666.67
5
6	Ограничения
7	6	6
8	8	8
9	-2	1
10	1.333333	2