10.4. Пример 10.4

Математическая модель межотраслевого баланса.

Модель межотраслевого баланса, разработанная профессором В. Леонтьевым (Гарвардский университет, США), имеет вид:

, (10.6)

или, в матричной форме,

AX + Y = X, (10.7)

где А = (a _{i j}) - матрица коэффициентов прямых затрат, Х - вектор валовых выпусков, Y - вектор конечного продукта.

Перепишем систему (5.13) в виде

(E - A) X = Y, (10.8)

где E - единичная матрица n-го порядка, тогда решение системы (5.14) относительно неизвестных значений объемов производства продукции при заданном векторе конечного продукта находится по формуле

X = (E - A) ^-1 Y. (10.9)

Здесь (E - A)^-1 - матрица коэффициентов полных затрат. Элемент b _{i j} матрицы (E - A)^-1 характеризует потребность в валовом выпуске отрасли i, который необходим для получения в процессе материального производства единицы конечного продукта отрасли j. Благодаря этому имеется возможность рассматривать валовые выпуски x _i в виде функций планируемых значений y _j конечных продуктов отраслей:

.

10.5. Пример 10.5

Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты - выпуск” X = AX +Y. Найти вектор конечной продукции Y при заданном X, где

;

Решение. Имеем: Y = (E - A) X, где E - единичная матрица третьего порядка.

,

значит,

10.6 Пример 10.6

Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты-выпуск”. Определить, будет ли продуктивной матрица технологических коэффициентов A. Найти вектор валовой продукции X при заданном Y, где

.

Решение. Для решения вопроса о продуктивности матрицы A следует найти собственные значения этой матрицы. Составим характеристическое уравнение:

,

или

(0,125 -λ)² - 0,140625 = (0,125- λ)²-(0,375)² =( λ+0,25)( λ-0,5)=0

Для заметок

Следовательно, λ ₁ = 0,5; λ ₂ = - 0,25. Оба корня по модулю меньше единицы, значит, матрица технологических коэффициентов A продуктивная. Для определения вектора валовой продукции X имеем формулу

X = (E - A) ^-1 Y.

Найдем обратную матрицу для матрицы

.

Обозначим B = E-A, тогда

.

Следовательно,