Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1semestr_1RT.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
06.11.2018
Размер:
3.37 Mб
Скачать

5.1. Пример 5.1

Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна:

5x1 -   x2 + 2x3 +  x4  = 7,

2x1 +  x2 + 4x3 -  2x4 = 1,

x1 - 3x2 -  6x3 + 5x4 = 0.

Решение. Выписываем расширенную матрицу системы:

.

Вычислим ранг основной матрицы системы. Очевидно, что, например, минор второго порядка в левом верхнем углу

содержащие его миноры третьего порядка равны нулю:

Следовательно, ранг основной матрицы системы равен 2, т.е. r(A)=2. Для вычисления ранга расширенной матрицы рассмотрим окаймляющий минор

значит, ранг расширенной матрицы r() = 3. Поскольку r(A) ≠ r(), то система несовместна.

6. Матричный метод

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е. det A ≠ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (5.3) совпадает с вектором

Х = .

Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле Х = . называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.

6.1. Пример 6.1

Решить матричным способом систему уравнений

x1 - x2 + x3 = 6,

2x1 + x2 + x3 = 3,

x1 + x2 +2x3 = 5.

Решение. Введем обозначения

Для заметок

Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением

AX=B.

Поскольку

,

то матрица A невырожденная и поэтому имеет обратную:

.

Для получения решения X мы должны умножить матрицу-столбец B слева на матрицу A: X = A1B. В данном случае

и, следовательно,

.

Выполняя действия над матрицами, получим:

x1 = 1/5 (1∙6+3∙3-2∙5) = 1/5 (6+9-10) = 1,

x2 = 1/5 (-3∙6 +1∙3 - 1∙5) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2,

x3 = 1/5 (1∙6 - 2∙3 + 3∙5) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3.

Итак, С = (1, -2, 3)T.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]