9. Системы линейных уравнений общего вида

9.1. Методы исследования

Если система (5.1) оказалась совместной, т. е. матрицы A и имеют один и тот же ранг, т.е.

то могут представиться две возможности - a) k = n; б) k < n:

а) если k = n, то имеем n независимых уравнений с n неизвестными, причем определитель Δ этой системы отличен от нуля. Такая система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамера;

б) если k < n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.

Перенесем лишние неизвестные x _r+1, x _r+2,..., x_n, которые принято называть свободными, в правые части; наша система линейных уравнений примет вид:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +... + a_1k x_k = b₁ - a₁,_k+1 x_k+1 -... - a_1nx_n,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +... + a_2k x_k = b₂ - a₂,_k+1 x_k+1 -... - a_2nx_n,

...     ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...

a_r1 x₁ + a_r2 x₂ +... + a_kk x_k = b_k – a_k,_k+1 x_k+1 -... – a_knx_n.

Ее можно решить относительно x₁, x₂,..., x_k, так как определитель этой системы (k-го порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера соответствующие числовые значения для x₁, x₂,..., x_k. Таким образом, при k < n имеем бесчисленное множество решений.

Система (5.1) называется однородной, если все b_i = 0, т. е. она имеет вид:

a ₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +... + a_1n x_n = 0,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +... + a_2n x_n = 0, (9.1)

 ...     ...     ...     ...     ...     ...

a_m1 x₁ + a_m1 x₂ +... + a_mn x_n = 0.

Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно - система (9.1) заведомо обладает нулевым, или тривиальным, решением x₁ = x₂ =... = x_n = 0. Пусть матрица А системы (9.1) имеет ранг k.

Если k = n, то нулевое решение будет единственным решением системы (8.1); при k < n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений.

9.2. Собственные числа и собственные векторы матрицы

Всякий ненулевой вектор - столбец X = (x₁, x₂,..., x_n)^T называется собственным вектором линейного преобразования

(квадратной матрицы A), если найдется такое число λ, что будет выполняться равенство

AX = λ X.

Число λ называется собственным значением линейного преобразования (матрицы A), соответствующим вектору X. Матрица A имеет порядок n.

В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Доказано, что матрица A является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы.

Для нахождения собственных значений матрицы A перепишем равенство AX = λ X в виде (A - λ E)X = 0, где E- единичная матрица n-го порядка или в координатной форме:

(a₁₁ - λ)x₁ + a₁₂x₂ +... + a_1nx_n =0,

a₂₁x₁ + (a₂₂ - λ)x₂ +... + a_2nx_n = 0,

(9.2)

a_n1x₁ + a_n2x₂ +... + (a_nn- λ)x_n = 0.

Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е.

.

Получили уравнение n-ой степени относительно неизвестной λ, которое называется характеристическим уравнением матрицы A, многочлен

Для заметок

называется характеристическим многочленом матрицы A, а его корни - характеристическими числами, или собственными значениями, матрицы A.

Для нахождения собственных векторов матрицы A в векторное уравнение (A - λ E)X = 0 или в соответствующую систему однородных уравнений (8.2) нужно подставить найденные значения λ и решать обычным образом.