Індивідуальна робота № 2 для студентів денної форми навчання

В А Р І АН Т № 0

Виконується студентами , у яких остання цифра учбового номера дорівнює 0 . Параметри у текстах завдань відповідно номер студента у групі і номер групи у лекційному потоці.

В урні містяться 4 синіх, 3 червоних , дві зелених та білих кульок. Навмання беруться 3 кульки. Знайти закон розподiлу випадкової величини Х – числа кольорових кульок серед навмання взятих. Обчислити М(Х) та D(X).

2. Випадкова величина Х приймає значення на відрізку на якому задається щільністю Визначити m і n, якщо і МХ=b.

3. Для контролю якості із партії у 1000 виробів проводиться вибірка об”єма 50. Знайти ймовірність того. що у вибірці немає бракованих деталей, якщо у партії b виробів браковані. Порівняти точне значення цієї ймовірності з наближеним, одержаним за формулою Пуассона.

3. Бракування кульок для підшипників проводиться слідуючим способом. Якщо кулька проходить через отвір з але не проходить через отвір з то її розмір вважається допустимим. Діаметр кульки - нормально розподілена величина з Переналадка обладнання проводиться, якщо брак перевищує % . Визначити допустимі межі для дисперсії.

5. У залежності від режиму температур випадкова величина опору розподілену по закону, який задається щільністю розподілу Знайти закон розподілу величини І струму у мережі, якщо напруга у мережі складає 220 в.

6. Система випадкових величин рівномірно розподілена у квадраті з вершинами Знайти

7. Задана система випадкових величин МХ = MY=0, DX=, DY = . При якому значенні випадкові величини будуть некорельовані, якщо MXY=32 ? Знайти

8. У електричну мережу послідовно включено 5 опорів. Час роботи кожного з них – випадкова величина Х із щільністю:

Знайти закон розподілу для випадкової величини Z - часу неперервної роботи опорів.

В А Р І АН Т №1

Виконується студентами , у яких остання цифра учбового номера дорівнює 1. Параметри у текстах завдань відповідно номер студента у групі і номер групи у лекційному потоці.

1. Для виготовлення деталей використовуються труби, довжиною 4, 5 і 6 м. При цьому половина труб поставляється довжиною 6 м, а труби довжиною 4 і 5 м поступають у відношенні . Знайти закон розподілу числа заготовок довжиною 0,5 м, одержаних із навмання взятої труби. Знайти математичне сподівання та дисперсію цієї випадкової величини.

2. Графік щільності розподілу ломана лінія АВС. Знайти аналітичний вираз для f(x) i M(X), якщо точка В лежить на вісі ординат, а точки А і С на вісі абсцис симетрично початку координат, при цьому C( b,0 ).

3. Брак при виготовленні деталей складає у середньому b%. Знайти ймовірність того, що серед 5 навмання взятих деталей не виявиться ні одної бракованої; буде дві браковані деталі.

3. Завод виготовляє кульки для підшипників. Діаметр кульки - нормально розподілена величина з Побудувати графік, що відображає залежність між величиною відхилення випадкової величини від її математичного сподівання і ймовірністю того, що фактичні розміри не перевищать дані відхилення.

5. Залишок матеріалу А на початок місяця склав 100 одиниць. Витрати матеріалу за день роботи – випадкова величина, яка розподілена показниково з параметром рівним . Знайти закон розподілу величини періоду на який вистачить матеріалу.

5. Система випадкових величин рівномірно розподілена в області, яка представляє собою многокутник з вершинами . Знайти і

7. Системи випадкових величин задана законом розподілу

X Y	-a	0	a
-b	0,1	0,3	0,2
0	0,1	0,1	0,05
b	0,05	0,04	0.06

Знайти числові характеристики системи.

8. Випадкові величини розподілені по слідуючим законам :

Знайти закон розподілу для випадкової величини і визначити

В А Р І АН Т № 2

Виконується студентами , у яких остання цифра учбового номера дорівнює 2. Параметри у текстах завдань відповідно номер студента у групі і номер групи у лекційному потоці.

1. Ймовірність того, що деталь, яка виготовлена на верстаті-автоматі, першого сорту . Робітник періодично перевіряє якість кожної виготовленої деталі, але кожного разу не більше 4 деталей. Якщо деталь другого сорту, верстат зупиняється для регулювання. Скласти закон розподілу числа перевірених деталей у одній серії спостережень. Знайти математичне сподівання та дисперсію цієї величини.

2. Випадкова величина Х приймає значення на відрізку , на якому задана щільністю Визначити k і якщо МХ=0.

3. В електромережу включено 4 прилади, потужність кожного з них 660 Вт. Знайти ймовірність того, що мережа буде обеструмлена, якщо напруга у мережі 220 В, за-побіжник розрахований на 10 А і ймовірность для кожного приладу бути включеним 0,b.

4. Розмір деталі – нормально розподілена величина з Деталь вважається стандартною, якщо її відхилення від математичного сподівання не перевищує 0,8. Побудувати графік залежності між величиною і процентом бракованих деталей.

5. У залежності від умов зберігання кількість придатної продукції через період визначається формулою

де - кількість продукції, закладеної на зберігання;

випадкова величина, яка рівномірно розподілена на проміжку Знайти математичне сподівання .

6. Область значень системи випадкових величин - многокутник з вершинами Знайти ( постійний в області ), і якщо

5. Система випадкових величин розподілена рівномірно в області – трикутник з вершинами Знайти кореляційну матрицю системи.

8. Випадкові величини рівномірно розподілені на проміжках ( b, a+b ]. Знайти закон розподілу для

В А Р І АН Т № 3

Виконується студентами , у яких остання цифра учбового номера дорівнює 3. Параметри у текстах завдань відповідно номер студента у групі і номер групи у лекційному потоці.

1. Визначити ціну лоторейного квитка, при якій забезпечується прибуток від лотореї, рівний суми, одержаноі від реалізації квитків , якщо на кожні 100 квитків установлено один виграш у 100 гривен, два – по 20 гривен і чотири – по 10 гривен.

2. Випадкова величина Х задається функцїєю розподілу:

Знайти c,

3. При роботі ЕОМ час від часу виникають збої. Середнє число збоїв за добу дорівнює b/5. Знайти ймовірності таких подій: а) за дві доби не буде ні одного збою;

б) за тиждень роботи буде не менше 2 збоїв.

3. Вивезення вантажів із залізничної станції виконується автомобілями по кільцевих маршрутах. Визначити величину вантажепід”ємності автомобіля на маршруті ( МХ ), якщо об”єм перевезень розподілений по показниковому закону з

Яка ймовірність того, що усі вантажі будуть вивезені ? Як зміниться ця ймовірність, якщо покласти вантажопід”ємність автомобіля ?

3. Закон розподілу похибок при вимірюванні радіусу кола – нормальний з параметрами .Знайти закон розподілу похибки при обчисленні довжини кола .

3. Система випадкових величин має щільність розподілу

. Знайти А і функцію розподілу

7. Задана матриця системи випадкових величин :

Знайти

8. Випадкові величини рівномірно розподілені на проміжках ( b, b+a ]. Знайти закон розподілу для

В А Р І АН Т № 3

Виконується студентами , у яких остання цифра учбового номера дорівнює 3 . Параметри у текстах завдань відповідно номер студента у групі і номер групи у лекційному потоці.

1. Визначити ціну лоторейного квитка, при якій забезпечується прибуток від лотореї, рівний суми, одержаноі від реалізації квитків , якщо на кожні 100 квитків установлено один виграш у 100 гривен, два – по 20 гривен і чотири – по 10 гривен.

2. Випадкова величина Х задається функцїєю розподілу:

Знайти c,

3. При роботі ЕОМ час від часу виникають збої. Середнє число збоїв за добу дорівнює b/5. Знайти ймовірності таких подій: а) за дві доби не буде ні одного збою;

б) за тиждень роботи буде не менше 2 збоїв.

4. Вивезення вантажів із залізничної станції виконується автомобілями по кільцевих маршрутах. Визначити величину вантажепід”ємності автомобіля на маршруті ( МХ ), якщо об”єм перевезень розподілений по показниковому закону з

Яка ймовірність того, що усі вантажі будуть вивезені ? Як зміниться ця ймовірність, якщо покласти вантажопід”ємність автомобіля ?

5. Закон розподілу похибок при вимірюванні радіусу кола – нормальний з параметрами .Знайти закон розподілу похибки при обчисленні довжини кола .

6. Система випадкових величин має щільність розподілу . Знайти А і функцію розподілу

3. Задана матриця системи випадкових величин :

Знайти

8. Випадкові величини рівномірно розподілені на проміжках ( b, b+a ]. Знайти закон розподілу для

В А Р І АН Т № 5

Виконується студентами , у яких остання цифра учбового номера дорівнює 5. Параметри у текстах завдань відповідно номер студента у групі і номер групи у лекційному потоці.

1. Маємо 4 лампочки, кожна з яких з ймовірністю має дефект. Лампочка вкручується у патрон i вмикається струм. При цьому дефектна лампочка зразу перегорає, після чого заміняється другою. Знайти закон розподілу випадкової величини Х – числа випробо-ваних лампочок , М(Х) та D(X) .

2. Графік щільності розподілу пряма АВ. Знайти аналітичний вираз для f(x), M(X) i F(x), якщо точка А лежить на вісі ординат, а точка В( b, 0 ).

2. Ймовірність виготовлення бракованого свердла дорівнює . Свердла пакуються у коробки по 100 штук. Знайти ймовірність того, що: а) у корoбці не буде бракованих свердл; б) число бракованих свердл не більше 2.

4. Випадкова величина розподілена нормально і має нульове математичне сподівання. Задано проміжок який не включає початок координат. Визначити значення середнього квадратичного відхилення, при якому ймовірність попадання випадкової величини на заданий проміжок найбільша.

5. Залишок матеріалу А на початок місяця склав 100 одиниць. Витрати матеріалу за день роботи – випадкова величина, яка рівномірно розподілена на проміжку ( 10; 15 +а ]. Знайти закон розподілу величини періоду на який вистачить матеріалу.

6. Задана щільність розподілу системи випадкових величин :

Визначити і закони розподілу випадкових величин., які входять у систему.

7. Випадкові величини розподілені нормально з одними і тими ж параметрами Знайти коефіціент кореляції системи величин

, якщо

7. Випадкові величини рівномірно розподілені на проміжках ( b, a+b ]. Знайти закон розподілу для

В А Р І АН Т № 6

Виконується студентами , у яких остання цифра учбового номера дорівнює 6 . Параметри у текстах завдань відповідно номер студента у групі і номер групи у лекційному потоці.

1. Три робітники повинні виготовити за зміну певну кількість деталей. Ймовірність того, що перший робітник виконає норму за зміну . Для другого та третього робітників ці ймовірності відповідно рівні 0,8 та 0,75. Знайти закон розподілу випадкової величини Х – числа робітників, які виконують норму за зміну. Обчислити М( Х ) та D( X ).

2. Графік щільності розподілу пряма АВ. Знайти аналітичний вираз для f(x), M(X) i F(x), якщо координати точок : А(-, В( b, y ).

3. Верстат-автомат при нормальній наладці випускає браковану деталь з ймовірністю 0,0b. Переналадка виконується після випуску першої бракованої деталі. Знайти математичне сподівання числа деталей, виготовлених між двома переналадками.

2. Випадкова величина Х розподілена показниково. Яка із подій більш ймовірна: випадкова величина прийняла значення більше чи менше свого математичного сподівання?

2. Закон розподілу похибок при вимірюванні радіусу кола – нормальний з параметрами .Знайти закон розподілу похибки при обчисленні площі круга .

6. Щільність розподілу системи випадкових величин задається формулою: Знайти закони розподілу величин, які входять у систему.

7. Проводяться чотири незалежні вимірювання однієї величини. Результати вимі- рювання мають однакові математичні сподівання та дисперсії. Розглянемо величини Знайти числові характеристики системи якщо

7. Випадкові величини рівномірно розподілені на проміжках ( a, a+b ]. Знайти закон розподілу для

В А Р І АН Т № 7

Виконується студентами , у яких остання цифра учбового номера дорівнює 7. Параметри у текстах завдань відповідно номер студента у групі і номер групи у лекційному потоці.

1. Білет містить 3 задачі. Ймовірність розв”язати першу задачу дорівнює . Для другої та третьої задач ці ймовірності відповідно рівні 0,9 і 0,8. Знайти закон розподілу випадкової величини Х – числа задач, які будуть розв”язані. Обчислити М( Х ) та D( X ).

2 . Графік щільності розподілу пряма АВ. Знайти , аналітичний вираз для f(x), M(X) i F(x), якщо координати точок : А(-, В( b, 0 ).

3. Час неперервної роботи автоматичного верстату розподілений по показниковому закону. При якому значенні параметру з ймовірністю не менше 0,98 буде гарантована неперервна робота верстату на протязі b годин ?

4. Кількість відмов телевізора на протязі гарантійного строку розподілено по закону Пуассона з параметром pівним b. При й відмові витрати по ре-монту = Знайти математичне сподівання витрат на протязі гарантійного строку.

Випадкова величина Х розподілена нормально, МХ = 0. Ймовірність попадання її на проміжок від - до дорівнює 0.5. Знайти середнє квадратичне відхилення і записати щільність розподілу.

6. Система випадкових величин рівномірно розподілена у многокутнику з вершинами Знайти

7. При яких умовах ?

8. Випадкові величини рівномірно розподілені на проміжках ( b, b+a ]. Знайти закон розподілу для

В А Р І АН Т №8

Виконується студентами , у яких остання цифра учбового номера дорівнює 8. Параметри у текстах завдань відповідно номер студента у групі і номер групи у лекційному потоці.

1. Із +9 деталей, що містяться у ящику 3 з дефектом. Навмання беруться 4 деталі. Знайти закон розподілу випадкової величини Х – числу узятих стандартних деталей. Обчислити М( Х ) та D( X ).

2. Випадкова величина Х задається щільністю розподілу:

Знайти c,

3. Із партії об”ємом 500 валів приводу відібрано 50, у яких контролюється діа-метр. Із попередніх досліджень відомо, що у середньому b% валів браковані. Яка ймовірність того, що серед 50 відібраних валів не більше одного бракованого ?

3. Технічними умовами передбачено, що довжина заготовки деякої деталі повинна бути між 24 і 25 см. Якщо довжина деталі розподілена нормально з то яка доля заготовок буде мати довжину, яка виходить за межі, що задані технічними умовами?

3. Урожайність зернових – випадкова величина , яка рівномірно розподілена на проміжку ( ] (ц). Знайти закон розподілу випадкової величини - собівартості виробництва 1 ц зерна, якщо затрати по виробництву зерна на одному гектарі складають c гривен.

6. Система випадкових величин рівномірно розподілена у многокутнику з вершинами Знайти

7. Випадкова величина розподілена рівномірно на проміжку (-b,b ]. . Знайти

8. Тріщини, які утворюються у середині довгих прямокутних пластин листового металу, можна розглядати як відрізки прямої, довжина якої випадкова величина рівномірно розподілена на проміжку ( b, b+a ]. Вони розміщені у металі довільним способом. Нехай - кут, який утворює відрі-зок прямої з прямою, що перпендикулярна сторонам пластини. При з”явленні тріщини необхідно вирізати полосу, обмежену прямими, які перпендикулярні сторонам пластини, і дотикаються обох кінців тріщини. Знайти закон розподілу випадкової величини - довжини шматка, який вирізається.

В А Р І АН Т № 9

Виконується студентами , у яких остання цифра учбового номера дорівнює 9. Параметри у текстах завдань відповідно номер студента у групі і номер групи у лекційному потоці.

1. Серед +8 виробів три першого гатунку, чотири другого, а решта з дефектами. Навмання беруться 4 вироби. Знайти закон розподілу випадкової величини Х – числа стандартних виробів серед навмання взятих. Обчислити М( Х ) та D( X ).

2. Випадкова величина Х задається щільністю розподілу:

Знайти c,

3. Відхилення розміру деталі від номіналу – нормально розподілена величина з нульовим математичним сподіванням та дисперсією рівною 36. Скільки потрібно виготовити деталей, щоб з ймовірністю не менше 0.9b можна було стверджувати, що серед них буде принаймі одна годна, якщо допускаються відхилення розміру деталей від номіналу на проміжку ?

4. Із партії, у якій 50 електронних ламп, відібрані і випробуються на довговічність 5 ламп. Партія приймається, якщо вийде із ладу не більше одної із випробуваних ламп. Яка ймовірність того, що партія буде принята, якщо із 50 ламп b дефектні ?

3. У залежності від режиму температур випадкова величина опору розподілену по закону, який задається щільністю розподілу Знайти закон розподілу величини І струму у мережі, якщо напруга у мережі 220 в і .

6. Система випадкових величин рівномірно розподілена у прямокутнику з вершинами Знайти

7. Випадкові величини мають рівні математичні сподівання і дисперсії, . Для системи знайти кореляційну матрицю.

8. Для підвищення надійності роботи вузла приладу паралельно підключено n однакових елементів , час роботи яких розподілений показниково з параметром . Знайти закон розподілу випадкової величини Z – часу роботи приладу. Скільки потрібно взяти елементів, щоб з P гарантувалась неперервна робота приладу на протязі годин ?