2.4. Неполные уравнения

1. Уравнение (2.1) имеет вид

, (2.7)

причем существует, по крайней мере, один действительный корень этого уравнения.

Так как уравнение (2.7) не содержит х и у, то k_i – постоянное. Следовательно, интегрируя уравнение , получим , или , но k_i является корнем уравнения (2.7), следовательно,

, (2.8)

является интегралом рассматриваемого уравнения.

Пример 35. Записать общий интеграл уравнения:

.

▲Так как , а , то общий интеграл исходного уравнения согласно (2.8) будет иметь вид:

.▲

2. Уравнение (2.1) имеет вид

. (2.9)

Для решения таких уравнений целесообразно ввести параметр t и заменить уравнение (2.9) двумя уравнениями:

. (2.10)

Так как , то в данном случае , откуда

, (2.11)

и, следовательно, интегральные кривые уравнения (2.9) определяются в параметрической форме следующими уравнениями:

(2.12)

Если уравнение (2.9) легко разрешимо относительно х, , то почти всегда удобно в качестве параметра ввести . Тогда интегральные кривые уравнения (2.9) определяются в параметрической форме следующими уравнениями:

(2.13)

Пример 36. Найти решение уравнения: .

▲Введем параметр , тогда

.

Следовательно, семейство искомых решений определяют уравнения:

.▲

Пример 37. Записать решение уравнения: .

▲Для решения этого уравнения необходимо ввести параметр в виде

, причем ;

тогда

или, исключая параметр t из уравнений

получим - семейство окружностей. ▲

3. Уравнение (2.1) имеет вид

. (2.14)

Этот вид уравнений, так же как и предыдущий более целесообразно решать, вводя параметр t и заменяя уравнение (2.14) двумя уравнениями (2.10). Так как , то , откуда , следовательно, искомые интегральные кривые в параметрической форме определяются уравнениями:

(2.15)

Если уравнение (2.14) легко разрешимо относительно у, то удобно за параметр взять . Действительно, если , то, полагая , получим , а искомые интегральные кривые определяются уравнениями:

(2.16)

Пример 38. Записать решение уравнения:

.

▲Для решения этого уравнения необходимо ввести параметр в виде , тогда

а искомое решение определяется уравнениями:

,

.▲

4. Рассмотрим общий случай. Пусть для уравнения (2.1) существуют такие функции

, (2.17)

что

,

относительно параметров u и v из некоторой области их задания. Тогда, используя соотношение , получаем

, (2.18)

откуда

. (2.19)

Если уравнение (2.19) имеет общее решение , то общее решение исходного уравнения записывается в параметрической форме

. (2.20)

5. Если уравнение (2.1) легко разрешимо относительно у, то за параметры u и v удобно брать х и . Действительно, если уравнение (2.1) приводится к виду

, (2.21)

то, считая х и параметрами, получим

,

или

. (2.22)

Интегрируя уравнение (2.22), получим Ф(х,р,С) = 0. Совокупность уравнений

Ф(х,р,С) = 0 и , (2.23)

где р – параметр, определяет семейство интегральных кривых исходного уравнения.

6. Если уравнение (2.1) легко разрешается относительно х:

. (2.24)

то в этом случае взяв за параметры у и и пользуясь зависимостью , получим

или

. (2.25)

Интегрируя уравнение (2.25), получим Ф(у,р,С) = 0, которое совместно с уравнением (2.24) будет определять все решения уравнения (2.1).

Пример 39. Найти решения уравнения: .

▲Это уравнение допускает параметрическое представление

.

Пользуясь равенством , получаем откуда или . Это уравнение распадается на два уравнения:

и 2р - х = 0.

Первое из них дает р = х + С. Подставляя это значение р в выражение для у, получаем

.

Это общее решение исходного уравнения.

Из второго уравнения 2р – х = 0 находим р = х/2. Подставляя это значение р также в выражение для у, получаем . Это также решение исходного уравнения и притом особое. ▲

Пример 40. Найти решения уравнения: .

▲Разрешив это уравнение относительно х и, полагая в этом уравнении , получим . Так как , то

,

или

.

Из этого уравнения находим: р = е и . Таким образом, решения исходного уравнения имеют вид:

и .▲