1.2. Оду, не содержащие искомой функции, и оду, не содержащие независимой переменной

Рассмотрим уравнение

. (1.17)

Общее решение этого уравнения, если функция f(x) определена и непрерывна в некотором интервале (a,b), может быть представлено в виде

, (1.18)

и вся область изменения х и у (ахb, у+) заполнена непересекающимися интегральными кривыми (1.18) уравнения (1.17), причем каждая из них представляет собой график частного решения уравнения (1.17).

Из уравнения (1.18) следует, что все интегральные кривые, входящие в общее решение уравнения (1.17), получаются из какой-либо одной путем ее сдвига вдоль оси Оу.

Если поставлена задача Коши, а именно найти решение уравнения (1.17) удовлетворяющее начальным условиям , то такое решение будет иметь вид

. (1.19)

Пример 4. Найти общее решение уравнения

,

и выделить решение, удовлетворяющее начальному условию у=1 при х=0.

▲Очевидно, что правая часть исходного уравнения непрерывна при всех х. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид

.

Это уравнение есть уравнение семейства парабол, которые получаются при сдвиге одной из них параллельно оси Оу. Для того, чтобы решить задачу Коши необходимо в полученное решение подставить начальное условие и определить значение произвольной постоянной С: 1=0+С, откуда С = 1. Следовательно, решение задачи Коши будет иметь вид . Таким образом, через точку (0,1) проходит только одна интегральная кривая, определяемая уравнением .▲

Рассмотрим теперь уравнение, не содержащее независимой переменной

. (1.20)

Перевернутым для этого уравнения будет уравнение

. (1.21)

Общее решение этого уравнения будет иметь вид

. (1.22)

Пример 5. Найти решение задачи Коши для уравнения

,

удовлетворяющее начальному условию y(0) =0.

▲Правая часть исходного уравнения непрерывна при всех значениях у и не обращается в нуль, поэтому потери решений быть не может.

Интегрируя исходное уравнение, получим общий интеграл

,

а общее решение будет иметь вид

. (1.23)

Следовательно, для того, чтобы определить решение, удовлетворяющее начальному условию у(0)=0, необходимо определить значение произвольной постоянной С. Подставляя в (1.23) х=0 и у=0 определим, что С=0. Следовательно, решение задачи Коши будет иметь вид:

.▲

1.3. Уравнения с разделяющимися переменными

Если в уравнении (1.3) коэффициент M является функцией, зависящей только от x, а коэффициент N является функцией, зависящей только от y, то это уравнение приводится к виду

M(x)dx + N(y)dy = 0 , (1.24)

которое называется ОДУ с разделенными переменными. Решение этого уравнения представляется в виде

. (1.25)

К виду (1.24) можно привести и уравнение (1.3), если каждую из функций M(x,y) и N(x,y) при помощи алгебраических преобразований можно представить в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:

M(x,y) = f₁(x)·₂ (y) и N(x,y)= ₁(y)·f₂(x)

Исходя из этого, уравнение (1.3) можно записать в виде

f₁(x)₂(y)dx + ₁ (y) f₂(x)dy = 0. (1.26)

Полагая, что f₂(x)  0 и ₂(y)  0, тогда можно обе части (1.26) умножить на множитель  равный. В результате чего уравнение (1.26) примет вид

. (1.27)

Полученное ОДУ (1.27), также как и уравнение (1.24) будет называться ОДУ с разделенными переменными, а уравнение вида (1.26) будет называться ОДУ с разделяющимися переменными.

Замечание 1. При переходе от уравнения (1.26) к уравнению (1.27) предполагалось, что f₂(x) 0 и ₂(y) 0. Однако, для того, чтобы получить полное решение исходного уравнения необходимо также решить и уравнения ₂(y) = 0 и f₂(x) = 0. Решения этих уравнений могут является решениями уравнения (1.26), что проверяется непосредственной подстановкой.

Пример 6. Решить ОДУ:

.

▲При y1 и x1 разделяем переменные:

,

интегрируя обе части этого уравнения

,

получаем

. (С₁0)

Потенцируя это равенство и, используя свойство модуля, получим

.

Учитывая, что С₁ может принимать любые не равные нулю значения, окончательно получаем уравнение семейства интегральных кривых

, С  0.

При разделении переменных могли быть потеряны решения вида

y =1 и х =1.

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что это частные решения, которые входят в полученную совокупность семейства интегральных кривых как при С = 0, так и при С = , т.к. уравнение можно привести к виду .▲