3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа. Закон инерции.

Теорема 1. Любую квадратичную форму

f(x₁, x₂,…, x_n) = f(x)= . (1)

невырожденным линейным преобразованием X=TY, где X = (x₁, x₂,…, x_n)^t, Y = (y₁, y₂,…, y_n)^t, можно привести к виду

h(y₁, y₂,…, y_n) = . (2)

Представление квадратичной формы в виде (2) называется каноническим видом квадратичной формы. Коэффициенты называются каноническими коэффициентами. Матрица квадратичной формы канонического вида - диагональная матрица.

Доказательство. Докажем теорему методом математической индукции по числу n переменных в квадратичной форме f. Пусть n =1. Тогда квадратичная форма f имеет вид f = b₁₁x₁² и является квадратичной формой канонического вида.

Предположим что теорема доказана для всех квадратичных форм, имеющих меньше чем n переменных, и докажем ее для квадратичной формы f, имеющей n переменных. Рассмотрим два случая.

1. Среди диагональных коэффициентов b₁₁, b₂₂, …, b_nn есть отличный от нуля. Пусть, например, b₁₁  0. Рассмотрим квадратичную форму , которая содержит такие же члены с неизвестным , как и наша форма f. Тогда разность

f(x₁, x₂,…, x_n) -

будет квадратичной формой, содержащей только неизвестные x₂,…, x_n. Отсюда

.

Вводим неизвестные

, (3)

и получим

, (4)

где g( y₂,…, y_n) - квадратичная форма от не более чем n -1 неизвестной. Преобразование (3) невырожденное, так как матрица этого преобразования равна

,

и определитель равен b₁₁  0. Обратное ему преобразование тоже невырожденное и приводит форму f в форму (4). По индуктивному предположению квадратичную форму g( y₂,…, y_n) невырожденным преобразованием переменных y₂,…, y_n можно привести к квадратичной форме канонического вида. Это преобразование можно рассматривать как невырожденное, при котором неизвестная y₁ остается без изменения. Оно приводит квадратичную форму (4) к каноническому виду. Таким образом, невырожденным преобразованием переменных форма f приводится к каноническому виду.

2. Все диагональные коэффициенты b₁₁, b₂₂, …, b_nn равны нулю. Тогда среди коэффициентов формы должен быть отличный от нуля. Так как в противном случае форма тождественно равна нулю и являлась бы канонической. Пусть, например, b₁₂  0. Сделаем вспомогательное преобразование переменных так, чтобы в квадратичной форме появился квадрат. Сделаем преобразование переменных:

x₁ = z₁ + z₂, x₁ = z₁ - z₂, x₃ = z₃,…, x_n = z_n.

Оно невырожденное, так как матрица этого преобразования равна

,

и определитель ее равен 2 и не равен нулю. В результате этого преобразования член нашей формы примет вид

2 a₁₂x₁x₂ = 2 a₁₂( z₁ + z₂)(z₁ - z₂) = 2 a₁₂z₁² - 2 a₁₂ z₂²,

и форме появляется ненулевой коэффициенты у квадратов двух переменных. Эти члены не могут сократиться с остальными членами, так как во все остальные члены войдет хотя бы одна из переменных z₃,…, z_n. Полученную квадратичную форму по первой части доказательства можно привести к квадратичной форме канонического вида невырожденным преобразованием переменных. 

Пример. Методом Лагранжа привести квадратичную форму к каноническому виду

,

и найти преобразование переменных, приводящую эту форму к каноническому виду.

Решение. Так как в форме нет квадратов переменных, то сделаем преобразование переменных

x₁ = z₁ + z₂, x₁ = z₁ - z₂, x₃ = z₃

Матрица этого преобразования равно

и квадратичная форма преобразуется к виду

.

Выделим полный квадрат из членов, содержащих x₁

.

Полагаем y₁ =z₁ +(5/2)z₃, y₂ = z₂+(1/2) z₃, y₃ = z₃ приведем квадратичную форму к каноническому виду

.

Выразим неизвестные z₁ =y₁ - (5/2)y₃, z₂ = y₂-(1/2) y₃, z₃ = y₃. Последнее преобразование имеет матрицу

.

Тогда преобразование, переводящее данную квадратичную форму к форме канонического вида имеет матрицу, равную произведению матриц .

,

преобразование переменных имеет вид:

x₁ =y₁ + y₂ - 6y₃, x₂ =y₁ - y₂ - 4y₃, x₃ = y₃.

3. Закон инерции квадратичных форм. Квадратичную форму можно привести к каноническому виду различными способами.

Определение 1. Канонический вид квадратичной формы называется нормальным видом квадратичной формы, если все ее неравные нулю коэффициенты равны +1 или -1.

Теорема 1. Любую квадратичную форму с действительными переменными невырожденным линейным преобразованием переменных можно привести к нормальному виду.

Доказательство. Приведем сначала квадратичную форму к каноническому виду (2) §3. Можно предположить что в полученной квадратичной форме канонического вида имеется r коэффициентов неравных нулю, среди которых имеется s положительных коэффициентов и t отрицательных коэффициентов. При этом можно неизвестные перенумеровать и форму канонического вида представить в виде:

,

где 0  s  r  n и все коэффициенты с₁, с₂,…, с_r положительны. Тогда невырожденное преобразование переменных

приводит форму f к нормальному виду,

.

Определение 2. Рангом квадратичной формы называется ранг матрицы квадратичной формы.

Определение 3. Число s положительных коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы называется положительным индексом инерции формы, число t отрицательных коэффициентов - отрицательным индексом инерции формы. Упорядоченная пара (s, t) называется сигнатурой квадратичной формы.

Теорема 2. При невырожденных линейных преобразованиях переменных ранг квадратичной формы не меняется. Ранг квадратичной формы равен числу ненулевых коэффициентов в форме канонического вида, т.е. rang f = s+ t .

Лемма 1. Ранг произведения AB матриц не превосходит ранга каждого из его сомножителей.

Доказательство. Из определения произведения матриц следует, что столбцы матрицы AB являются линейными комбинациями столбцов матрицы A. Тогда столбцы матрицы AB выражаются через базисные столбцы матрицы A. И максимальное число линейно независимых столбцов матрицы AB меньше ранга матрицы A. Отсюда ранг матрицы AB не больше ранга матрицы A.

Из определения произведения матриц следует, что строки матрицы AB являются линейными комбинациями строк матрицы B. Тогда строки матрицы AB выражаются через базисные строки матрицы B. Отсюда ранг матрицы AB не больше ранга матрицы B. 

Лемма 2. Если один из сомножителей A или B квадратная невырожденная матрица, то ранг произведения AB равен рангу другого сомножителя.

Доказательство. Пусть C = AB, и B - невырожденная матрица. По лемме 1 rang C  {rang A, rang B}. Так как B - невырожденная матрица, то rang A  rang B. Поэтому rang C  rang A. Далее A = CB ^-1. Тогда rang A  rang C. Следовательно, rang C = rang A.

Доказательство теоремы. Пусть квадратичная форма g получена из квадратичной формы f с помощью невырожденного преобразования переменных (2.4) с матрицей T. Тогда по теореме 2.2 С = T^tBT., где B, С - матрицы соответственно квадратичных форм f и g. Так как матрица невырожденная, то по лемме 2 rang С = rang T^tB = rang B.

Так как форма канонического вида получена из квадратичной формы невырожденным преобразованием переменных, то ранг квадратичной формы равен рангу матрицы квадратичной формы, т.е. равен числу ненулевых коэффициентов в форме канонического вида.

Теорема 3. Число положительных и число отрицательных коэффициентов в форме канонического вида (сигнатура квадратичной формы) не зависит от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Доказательство. Допустим, что квадратичная форма f ранга r от n переменных двумя способами приведена к каноническому виду,

, (1)

где предполагаем, что все коэффициенты с_i и d_i (i=1,…,n) положительны. Пусть исходные переменные связаны с новыми переменными посредством невырожденных преобразований:

Допустим, что число положительных коэффициентов в канонических формах неодинаково. Пусть, для определенности, s < l. Положим

y₁ =0,…, y_s = 0, z_s+1 =0, …, z_n =0, (2)

и рассмотрим эти s + n - l равенств. Все эти y_i и z_j являются линейными формами от x₁, …, x_n . Таким образом, написанная совокупность равенств есть система однородных линейных уравнений относительно x₁, …, x_n. Число неизвестных равно n, число уравнений равно s + n - l< n. Поэтому система имеет нетривиальное (ненулевое) решение. Пусть x₁^*, …, x_n^*-одно из них Соответствующие значения для y₁, …, y_nобозначим через y₁^*, …, y_n^*. По условию (2) y₁^* =0,…, y_s^* = 0. Соответствующие значения для z₁, …, z_n обозначим через z₁^*, …, z_n^*. Они не все равны нулю, иначе все x₁^*, …, x_n^* равнялись бы нулю. Таким образом, среди чисел z₁^*, …, z_n^*есть отличные от нуля, но z_s+1^* =0, …, z_n^* =0.

Из представлений (1) в силу указанного выбора значений переменных находим

.

Мы пришли к противоречию и наше предположение неверно. Следовательно, s = l. 

Пример 1. Квадратичная форма в силу примера 3.1 имеет ранг 3, сигнатуру (1, 2).