220400 Алгебра и геометрия Толстиков а.В.

Лекции 11. Ранг системы векторов и ранг матрицы

План

1. Основная теорема о двух системах векторов.

2. Базис и ранг системы векторов.

3. Эквивалентные системы векторов и их свойства.

4. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований.

5. Теорема о ранге матрицы. Следствия из теоремы о ранге матрицы. Вычисление ранга матрицы. методом окаймления миноров.

1. Основная теорема о двух системах векторов.

Теорема 1. Пусть даны две системы векторов a₁, a₂, ..., a_k, и b₁, b₂, ..., b_m, которые обладают свойствами:

1) первая система линейно независима;

2) каждый вектор первой системы линейная комбинация векторов второй системы.

Тогда k  m , т.е. число векторов первой системы не больше числа векторов второй системы.

Доказательство. Доказательство проводим методом математической индукции по числу векторов второй системы, т.е. по m.

Пусть m=1. Докажем, что k=1. Допустим противное, что k>1. Тогда по второму условию каждый вектор системы a₁, a₂, ..., a_k линейно выражается через вектор b₁, т.е. a_i = _ib_i ; i=1,2,...,k, где все числа _i  0 ; i=1,2,...,k. Действительно, в противно случае какой-нибудь вектор a_i = 0 и по свойству система a₁, a₂, ..., a_k линейно зависим, что противоречит условию. Тогда из первых двух равенств первой системы получаем, что

₂a₁  ₁a₂ = ₂₁b₁  ₁₂b₁ = 0b₁ = 0.

Отсюда вектора a₁, a₂ образуют линейно зависимую подсистему системы векторов a₁, a₂, ..., a_k , что противоречит свойству . Установленное противоречие доказывает справедливость теоремы при m=1.

Предположим, что утверждение теоремы справедливо для любой системы второго вида, содержащей m  1 вектор, и докажем его для системы содержащей m векторов. По второму условию имеем систему k равенств :

a₁ = ₁₁b₁ + ₁₂b₂ +...+ _1m-1b_m-1 + _1mb_m,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

a_k-1 = _k-11b₁ + _k-12b₂ +...+ _k-1m-1b_m-1 + _k-1mb_m,

a_k = _k1b₁ + _k2b₂ +...+ _km-1b_m-1 + _kmb_m.

Если все числа _im = 0 ; i=1,2,...,k , то из системы равенств (1) следует, что каждый вектор системы a₁, a₂, ..., a_k линейная комбинация векторов системы b₁, b₂, ..., b_m-1. По индуктивному предположению k  m  1 < m, что и требовалось доказать.

Пусть теперь среди чисел _im ; i=1,2,...,k , есть неравное нулю. Пусть например _km  0 , так как в противном случае равенства в системе (1) можно переставить местами. Теперь исключим вектор b_m из первых k  1 равенств системы (1). Для этого к i-му (i=1,2,...,k1) равенству системы (1) почленно прибавим k-е равенство, умноженное на число . После этих преобразований первые k1 равенств системы (2) перепишутся в виде:

с₁ = ₁₁b₁ + ₁₂b₂ +...+ _1m-1b_m-1 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

с_k-1 = _k-11b₁ + _k-12b₂ +...+ _k-1m-1b_m-1 ,

где с_i = a_i   a_k , ; i = 1, 2, ..., m-1; j = 1, 2, ..., k-1.

Рассмотрим две системы векторов с₁, с₂, ..., с_k-1, и b₁, b₂, ..., b_m-1. Покажем, что первая система векторов линейно независима. Действительно, из равенства

₁с₁ +₂с₂ + ...+ _k-1c_k-1 = 0,

получаем

₁(a₁   a_k) +₂(a₂   a_k) + ...+ _k-1(a_k-1   a_k) = 0,

откуда

₁a₁ +₂a₂ + ...+ _k-1a_k-1 +  a_k = 0.

Так как система a₁, a₂, ..., a_k линейно независима, то все числа ₁, ₂, ..., _k-1 равны нулю. Поэтому система векторов с₁, с₂, ..., с_k-1 линейно независима. В силу равенств (2) каждый ее вектор линейная комбинация системы векторов b₁, b₂, ..., b_m-1. Тогда по индуктивному предположению k  1 m  1 и k  m. 

2. Базис и ранг системы векторов. Теорема о базисах. Пусть V векторное пространство над полем Р, S - система векторов из V.

Определение 1. Базисом системы векторов S называется такая упорядоченная линейно независимая подсистема b₁, b₂, ..., b_r системы S, что любой вектор системы S линейная комбинация векторов b₁, b₂, ..., b_r.

Определение 2. Рангом системы векторов S называется число векторов базиса системы S. Обозначается ранг системы векторов S символом r = rangS.

Если S = {0}, то система не имеет базиса и предполагается , что rangS = 0.

Пример 1. Пусть дана система векторов a₁ = (1,2), a₂ = (2,3), a₃ = (3,5), a₄ = (1,3). Вектора a₁ , a₂ образуют базис данной системы, так как они линейно независимы (см. пример 3.1) и a₃ = a₁ + a₂ , a₄ = 3a₁  a₂ . Ранг данной системы векторов равен двум.

Теорема 1 (теорема о базисах). Пусть S - конечная система векторов из V , S {0}. Тогда справедливы утверждения.

1 Любую линейно независимую подсистему системы S можно дополнить до базиса.

2 Система S обладает базисом.

2 Любые два базиса системы S содержат одинаковое число векторов, т.е. ранг системы не зависит от выбора базиса.

4 Если r = rangS, то любые r линейно независимых векторов образуют базис системы S.

5 Если r = rangS, то любые k > r векторов системы S линейно зависимы.

6 Любой вектор a  S единственным образом линейно выражается через вектора базиса, т.е., если b₁, b₂, ..., b_r базис системы S, то

a = ₁b₁ + ₂b₂ +...+ _rb_r ; ₁, ₂, ...,_n  P, (1)

и такое представление единственно.

В силу 5 базис это максимально линейно независимая подсистема системы S, а ранг системы S число векторов в такой подсистеме.

Представление вектора a в виде (1) называется разложением вектора по векторам базиса, а числа ₁, ₂, ..., _r называются координатами вектора a в данном базисе.

Доказательство. 1 Пусть b₁, b₂, ..., b_k - линейно независимая подсистема системы S. Если каждый вектор системы S линейно выражается через вектора нашей подсистемы, то по определению она является базисом системы S.

Если имеется вектор в системе S , который линейно не выражается через вектора b₁, b₂, ..., b_k , то обозначим его через b_k+1 . Тогда системы b₁, b₂, ..., b_k , b_k+1 - линейно независима. Если каждый вектор системы S линейно выражается через вектора этой подсистемы, то по определению она является базисом системы S.

Если имеется вектор в системе S , который линейно не выражается через b₁, b₂, ..., b_k , b_k+1, то повторим рассуждения. Продолжая этот процесс, мы либо придем к базису системы S , либо увеличим число векторов в линейно независимой системе на единицу. Так как в системе S конечное число векторов, то вторая альтернатива не может продолжаться бесконечно и на некотором шаге получим базис системы S.

2 Пусть S конечная система векторов и S {0}. Тогда в системе S есть вектор b₁  0, который образует линейно независимую подсистему системы S . По первой части его можно дополнить до базиса системы S . Таким образом система S обладает базисом.

3 Допустим, что система S имеет два базиса:

b₁, b₂, ..., b_r , (2)

c₁, c₂, ..., c_s , (3)

По определению базиса система векторов (2) линейно независима и (2)  S . Далее по определению базиса каждый вектор системы (2) линейная комбинация векторов системы (3). Тогда по основной теореме о двух системах векторов r  s. Аналогично доказавается, что s  r. Из этих двух неравенств следует r = s.

4 Пусть r = rangS, a₁, a₂, ..., a_r - линейно независимая подсистема S. Покажем, что она является базисом систем S. Если она не является базисом, то по первой части ее можно дополнить до базиса и получим базис a₁, a₂, ..., a_r, a_r+1,..., a_r+t , содержащий более чем r векторов. Это противоречит доказанному в третьей части.

5 Если k векторов a₁, a₂, ..., a_k (k > r) системы S - линейно независимы, то по первой части эту систему векторов можно дополнить до базиса и получим базис a₁, a₂, ..., a_k, a_k+1,..., a_k+t , содержащий более чем r векторов. Это противоречит доказанному в третьей части.

6 Пусть b₁, b₂, ..., b_r базис системы S. По определению базиса любой вектор a  S есть линейная комбинация векторов базиса:

a = ₁b₁ + ₂b₂ +...+ _rb_r.

Доказывая единственность такого представления допустим противное, что есть еще одно представление:

a = ₁b₁ + ₂b₂ +...+ _rb_r.

Вычитая равенства почленно находим

0 = (₁  ₁)b₁ + (₂  ₂)b₂ +...+ (_r  _r)b_r.

Так как базис b₁, b₂, ..., b_r линейно независимая система, то все коэффициенты _i  _i =0; i = 1, 2, ..., r. Следовательно, _i = _i ; i = 1, 2, ..., r и единственность доказана.