220400 Алгебра и геометрия Толстиков а.В. Лекции 10. Плоскость и прямая в пространстве План

1. Уравнения поверхности в пространстве. Уравнение сферы.

2. Различные уравнения плоскости

3. Взаимное расположение плоскостей. Углы между плоскостями.

4. Расстояние от точки до плоскости. Геометрический смысл неравенства Ax + By + Cz + D  0.

5. Различные уравнения прямой в пространстве.

6. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Углы между прямыми.

7. Расстояние между двумя прямыми.

8. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

1. Уравнения поверхности в пространстве. Уравнение сферы.

Определение 1. Пусть f(x,y,z) - функция от трех действительных переменных x, y, z и в пространстве задана аффинная система координат . Уравнение

f(x,y,z) = 0 (1)

называется уравнением поверхности  в данной системе координат, если выполняются два условия:

1. координаты x,y,z любой точки M(x,y,z)  удовлетворяют уравнению (11);

2. если координаты x,y,z точки M(x,y,z) удовлетворяют уравнению (11), то точка M(x,y,z) .

Таким образом, M(x,y,z) тогда и только тогда, когда f(x,y,z)= 0.

Если f(x,y,z) многочлен степени n, то поверхность  называется поверхность n - го порядка.

Основными задачами аналитической геометрии в пространстве являются следующие задачи:

1. по определению поверхности составить ее уравнение в заданной пространственной системе координат;

2. по уравнению поверхности изучить ее свойства, установить вид поверхности и изобразить ее.

Определение 2. Сферой с центром в точке C радиуса r называется геометрическое место всех точек пространства, для каждой из которых расстояние до точки C равно r.

Обозначим сферу с центром в точке C радиуса символом S(C,r).

Выведем уравнение сферы в данной прямоугольной системе координат Oxyz. Пусть C(x₀,y₀,z₀). По определению сферы точка M(x,y,z) принадлежит сфере с центром в точке C радиуса r тогда и только тогда, когда

CM = r. (2)

По формуле расстояния между двумя точками равенство (2) можно представить в виде:

.

Возведем в квадрат обе части полученного уравнения и находим уравнение сферы:

, (3)

которое равносильное первоначальному.

Если центр сферы совпадает с началом координат, то уравнение (3) принимает вид:

. (4)

С помощью систем уравнений и неравенств могут быть в пространстве определены различные пространственные тела.

Определение 3. Шаром с центром в точке C радиуса r называется геометрическое место всех точек пространства, для каждой из которых расстояние до точки C не больше r.

Шар с центром в точке C(x₀,y₀,z₀) радиуса r задается неравенством

.

2. Различные уравнения плоскости

Пусть в пространстве R ³ задана прямоугольная система координат Oxyz.

Определение 1. Нормальным вектором плоскости  называется любой ненулевой вектор n перпендикулярный плоскости .

Пусть n = (A,B,C)  0, -нормальный вектор плоскости , M₀(x₀,y₀,z₀)- точка, принадлежащая плоскости . Пусть M(x,y,z), произвольная точка пространства,

.

Тогда точка M принадлежит плоскости  тогда и только тогда, когда векторы и n ортогональны. Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, Последнее в ортонормированном базисе можно записать в виде:

A(x - x₀) + B(y - y₀) +C(z - z₀) = 0 . (1)

Таким образом, получаем уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору n = (A,B,C)  0.

Рассмотрим произвольное уравнение первого порядка

Ax + By + Cz + D = 0, (2)

где коэффициенты одновременно не равны нулю, т.е. A²+ B²+ C²  0.

Теорема 1. Любую плоскость в произвольной аффинной системе координат можно задать уравнением (1) первого порядка и обратно любое уравнение (1) первого порядка в аффинной системе координат определяет плоскость.

Доказательство. Достаточно доказать теорему для прямоугольной системы координат. Любую плоскость в прямоугольной системе координат можно задать ее нормальным вектором n = (A,B,C)  0 и точкой M₀(x₀,y₀,z₀), принадлежащей плоскости. Уравнение этой плоскости выведено в §2.2 и имеет вид:

A(x - x₀) + B(y - y₀) +C(z - z₀) = 0.

отсюда получаем

Ax + By +Cz +(-Ax₀ - By₀ - Cz₀)= 0,

Ax + By +Cz + D= 0,

где D = -Ax₀ - By₀ - Cz₀. Так (A,B,C)  0, то A²+ B²+ C²  0 и любая плоскость есть поверхность первого порядка.

Обратно, пусть некоторая поверхность в пространстве определена уравнением (1). Так как не все коэффициенты равны нулю, то уравнение (1) имеет решение (x₀,y₀,z₀). Тогда

Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0, (3)

и точка M₀(x₀,y₀,z₀) принадлежит поверхности. Вычитая почленно из уравнения (1) равенство (2), получим уравнение

A(x - x₀) + B(y - y₀) +C(z - z₀) = 0,

равносильное уравнению (1). Это уравнение в силу §2.2, определяет плоскость, проходящую через точку M₀(x₀,y₀,z₀), перпендикулярную вектору n = (A,B,C).

Определение 2. Направляющими векторами плоскости  называется пара неколлинеарных векторов s₁ и s₂ параллельных плоскости .

Пусть s₁ = (m₁,k₁,l₁), s₂ = (m₂,k₂,l₂) -направляющие вектора плоскости , M₀(x₀,y₀,z₀)- точка, принадлежащая плоскости . Пусть M(x,y,z), произвольная точка пространства,

.

Тогда точка M принадлежит плоскости  тогда и только тогда, когда векторы , s₁ и s₂ компланарны. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат этих векторов равен нулю. Таким образом, получаем уравнение плоскости по двум направляющим векторам и точке, принадлежащей плоскости

. (4)

Пример 1. Найдем уравнение плоскости с направляющими векторами s₁ = (B,-A,0), s₂ = (C,0,-A), где A  0. Так как векторы s₁ и s₂ неколлинеарны, то формуле (4) находим уравнение этой плоскости:

.

Отсюда находим

.

Сократим на A  0 и получаем уравнение

. (5)

Рассмотрим радиус вектора r_o = и r =. Точка M принадлежит плоскости  тогда и только тогда, когда векторы = r - r_o, s₁ и s₂ компланарны. Так как векторы s₁ и s₂ неколлинеарны, то последнее равносильно тому, что вектор r - r_o линейная комбинация векторов s₁ и s₂, т.е. r - r_o = us₁ +vs₂, где u, v - действительные числа.

Отсюда получаем так называемое векторно-параметрическое уравнение плоскости.

r = r_o + us₁ +vs₂, (6)

где u, v - произвольные действительные параметры.

Так как r == (x,y,z), r_o = = (x₀,y₀,z₀), то запишем это уравнение в координатной форме. Получим параметрические уравнения плоскости:

(7)

где u, v - произвольные действительные параметры, s₁ = (m₁,k₁,l₁), s₁ = (m₂,k₂,l₂) - направляющие вектора плоскости, M₀(x₀,y₀,z₀)- точка, принадлежащая плоскости.

Пусть даны три точки M₁(x₁,y₁,z₁), M₂(x₂,y₂,z₂), M₃(x₃,y₃,z₃) плоскости , которые не принадлежат одной прямой. Тогда векторы ,

являются направляющими векторами плоскости . Применяя формулу (4) получим уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

. (8)

Пусть плоскость не проходит через начало координат и пересекает оси Ox, Oy, Oz соответственно в точках M₁(a,0,0), M₂(0,b,0), M₃(0,0,c). По формулу (8) находим уравнение плоскости, проходящей через эти три точки

.

Вычислим этот определитель и преобразуем полученное уравнение к более простому виду

(x - a)bc + yac + zab = 0,

xbc + yac + zab = abc,

. (9)

Уравнение (5) называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

.Замечание 1. Уравнение (1) называется общим уравнением плоскости. Если плоскость  задается общим уравнением (1) в прямоугольной системе координат, то n = (A,B,C) - нормальный вектор плоскости .

Если плоскость  задается общим уравнением (1) в произвольной аффинной системе координат и A  0, то s₁ = (B,-A,0), s₂ = (C,0,-A) направляющие вектора плоскости .

Рассмотрим частные случаи уравнения (1).

1. Пусть D = 0. Тогда уравнение (1) принимает вид: Ax + By + Cz = 0 и плоскость, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат (см. Рис. 6).

2. Пусть С = 0, A  0. Тогда уравнение (1) принимает вид: Ax + By + D = 0. Рассмотрим направляющие вектора s₁ = (B,-A,0) и s₂ = (0,0,-A) этой плоскости. Так как базисный вектор е₃ = (0,0,1) оси Oz _.коллинеарен вектору s₂, то плоскость , определяемая этим уравнением, параллельна оси Oz (см. Рис. 7).

3. Пусть B=0, С = 0, A  0. Тогда уравнение (1) принимает вид: Ax + D = 0. Рассмотрим направляющие вектора s₁ = (0,-A,0) и s₂ = (0,0,-A) этой плоскости. Так как базисные векторы е₂ = (0,1,0), е₃ = (0,0,1) _.коллинеарны соответственно векторам вектору s₁, s₂, то плоскость , определяемая этим уравнением, параллельна координатной плоскости Ozy (см. Рис. 8).