- •220400 Алгебра и геометрия Толстиков а.В. Лекции 10. Плоскость и прямая в пространстве План
- •1. Уравнения поверхности в пространстве. Уравнение сферы.
- •2. Различные уравнения плоскости
- •3. Взаимное расположение плоскостей. Углы между плоскостями.
- •5. Различные уравнения прямой в пространстве
- •Взаимное расположение прямых и плоскостей. Углы между прямыми.
- •7. Расстояние между двумя прямыми
- •8. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
3. Взаимное расположение плоскостей. Углы между плоскостями.
Теорема 1. Пусть и две плоскости, заданные своими общими уравнениями в аффинной системе координат:
: A1x + B1y + C1z + D1 = 0,
: A2x + B2y + C2z + D2 = 0,
A12 + B12+ C12 0, A22 + B22+ C22 0;
.
Тогда справедливы утверждения:
-
плоскости и пересекаются тогда и только тогда, когда
rang A = rang A = 2;
-
плоскости и параллельны тогда и только тогда, когда
rang A = 1, rang A = 2;
-
плоскости и совпадают тогда и только тогда, когда
rang A = rang A = 1.
Доказательство. Рассмотрим систему линейных уравнений:
(1)
Применим к исследованию системы (1) теорему Кронекера-Капелли.
Рассмотрим матрицу и расширенную матрицы системы (1):
.
Так как матрица А ненулевая, то rang A 1. Имеем rang A = rang A, rang A rang A 2. Тогда возможны следующие случаи:
1) rang A = rang A = 2. По теореме Кронекера- Капелли система (1) разрешима и плоскости и имеют общие точки. Так как при решении системы (1) методом Гаусса число свободных неизвестных равно 1, а не двум, то не все решения системы (1) являются решениями первого уравнения системы и плоскости и не совпадают. Следовательно, плоскости и пересекаются.
2) rang A = 1, rang A = 2. Тогда система (1) не имеет решений, и плоскости и не имеют общих точек, а поэтому параллельны.
-
rang A = rang A = 1. Тогда при приведении системы (1) к ступенчатому виду в системе останется одно из уравнений исходной системы, и система равносильна одному из уравнений системы (1). Следовательно, множество решений системы (1) совпадает с множеством решений одного из уравнений системы (1) и плоскости и совпадают.
Обратные утверждения легко доказываются методом от противного. Пусть плоскости пересекаются. Докажем, что rang A = rang A = 2. Допустим противное. Тогда rang A = 1, rang A = 2 или rang A = rang A = 1. Отсюда, по доказанному выше, или = . Получаем противоречие с условием. Следовательно, допущение неверно и rang A = rang A = 2. Аналогично рассматриваются случаи или = .
Нетрудно проверить, что ранг двухстрочной матрицы равен 1 тогда и только тогда, когда ее строки пропорциональны (проверьте самостоятельно). Тогда из теоремы 1 получаем следующее следствие.
Следствие. 1) Плоскости и пересекаются тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных в уравнениях плоскостей непропорциональны:
(2)
2) Плоскости и параллельны тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных в уравнениях плоскостей пропорциональны и не пропорциональны свободным членам:
. (3)
3) Плоскости и совпадают тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных в уравнениях плоскостей пропорциональны и пропорциональны свободным членам:
. (4)
Замечание 1. Совпадающие плоскости в некоторых случаях считаются также и параллельными, и в этом случае условие параллельности плоскостей может быть записано в виде:
.
Взаимное расположение трех плоскостей.
Пусть , и три плоскости, заданные своими общими уравнениями в аффинной системе координат:
: A1x + B1y + C1z + D1 = 0,
: A2x + B2y + C2z + D2 = 0,
: A3x + B3y + C3z + D3 = 0,
A12 + B12+ C12 0, A22 + B22+ C22 0, A32 + B32+ C32 0. Рассмотрим систему трех уравнений
(5)
и матрицы
.
Заметим, что rang A rang A и ранги матриц A и A могут отличаться только на единицу. Тогда возможны следующие случаи:
1. rang A = rang A = 3. Тогда система (5) имеет единственное решение и плоскости , , пересекаются в одной точке (см. Рис. 10).
2. rang A = rang A = 2. Тогда система (5) имеет бесконечно много решений и плоскости , , пересекаются по прямой. При этом, если строки матрицы непропорциональны, то среди плоскостей , , нет совпадающих (см. рис 11). Если две строки матрицы пропорциональны, то соответствующие плоскости совпадают (см. Рис. 12).
3. rang A = rang A = 1. Тогда система (5) имеет бесконечно много решений и плоскости , , совпадают (см. рис 14).
4. rang A =2, rang A = 3. Тогда система (5) не имеет решений. Если среди строк матрицы A нет пропорциональных, то все три плоскости пересекаются друг с другом и не пересекаются вместе (см. рис 15). Если две из строк матрицы A пропорциональны, то две из плоскостей параллельны и третья их пересекает (см. рис 16).
5. rang A =1, rang A = 2. Тогда система (5) не имеет решений. Если среди строк матрицы A есть пропорциональных, то все две плоскости совпадают друг с другом, а третья им параллельна (см. рис. 17). Если среди строк матрицы A нет пропорциональных строк, то все три параллельны друг с другу (см. рис. 18).
Угол между плоскостями.
Определение 1. Углом между пересекающимися плоскостями называется величина любого из двухгранных углов, который образуется при пересечении плоскостей.
Пусть и две плоскости, заданные своими общими уравнениями в прямоугольной системе координат:
: A1x + B1y + C1z + D1 = 0,
: A2x + B2y + C2z + D2 = 0,
A12 + B12+ C12 0, A22 + B22+ C22 0.
Рассмотрим нормальные векторы n1 = (A1,B1,C1), n2 = (A2,B2,C2) плоскостей и . В силу теоремы об углах с соответственно перпендикулярными сторонами угол между плоскостями и равен углу между нормальными векторами n1 и n2. По определению скалярного произведения векторов
n1n2 = n1 n2cos .
Отсюда находим формулу косинуса угла между плоскостями и :
. (6)
Заметим, что плоскости и перпендикулярны тогда и только тогда, когда нормальные векторы n1 и n2 этих плоскостей ортогональны. По условию ортогональности векторов последнее равносильно тому, что скалярное произведение n1n2 = 0. Так как n1n2 = A1A2+B1B2+C1C2, то получаем теорему.
Теорема 2. Плоскости и перпендикулярны тогда и только тогда, когда
n1n2 = A1A2+B1B2+C1C2 = 0. (7)
4. Расстояние от точки до плоскости. Геометрический смысл неравенства Ax + By + Cz + D 0.
Определение 1. Расстоянием от точки M0 до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из точки M0 на плоскость .
Вычислим расстояние от точки M0(x0,y0,z0) до плоскости , заданной в прямоугольной системе координат общим уравнением
: Ax + By + Cz + D = 0, A2 + B2+ C2 0.
Отпустим из точки M0(x0,y0,z0) перпендикуляр M0M1 на плоскость , M1 - основание перпендикуляра. Рассмотрим вектор
и нормальный вектор n = (A,B,C) плоскости. Так как векторы и n ортогональны одной и той же плоскости, то он коллинеарны. Вычислим их скалярное произведение двумя способами.
С одной стороны, так как угол между векторами и n равен 0 или 1800, по определению скалярного произведения имеем n = n cos = n = dn, где d расстояние от точки M0 до плоскости .
С дугой стороны,
n = A(x0 - x1) + B(y0 - y1) +C(z0 - z1) =
= Ax0 + By0 +Cz0 + (-Ax1 - B y1 -C z1)
Так как точка M1 , то-Ax1 - B y1 -C z1 = D. Отсюда
dn == Ax0 + By0 +Cz0 + D.
Таким образом, находим формулу расстояния от точки до плоскости
. (1)
Геометрический смысл неравенства Ax + By + Cz + D 0.
В пространстве рассматривается произвольная аффинная система координат.
Теорема 2. Множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют неравенству
Ax + By + Cz + D 0 (2)
A2 + B2+ C2 0, является полупространством, ограниченным плоскостью
: Ax + By + Cz + D = 0 (3)
в которой лежит конец вектора n = (A,B,C), отложенного от произвольной точки плоскости .
Доказательство. 1. Сначала покажем, что функция f(x,y,z) = Ax + By + Cz + D принимает значения одинаковых знаков, в точках каждой из полупространств, на которые плоскость разбивает пространство.
Пусть M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2) любые две точки пространства, не принадлежащие плоскости , и которые не лежат на прямой параллельной плоскости . Тогда прямая M1M2 пересекает плоскость в точке M(x,y,z), которая делит отрезок в некотором отношении . Координаты точки M вычисляются по формулам:
(4)
и удовлетворяют уравнению плоскости . Тогда справедливо равенство
Отсюда находим
.
Так как точка M2 , то . Тогда
.
Точки M1 и M2 лежат по одну сторону от плоскости тогда и только тогда, когда точка M не принадлежит отрезку M1M2. Последнее верно тогда и только тогда, когда < 0. Следовательно, точки M1 и M2 лежат по одну сторону от плоскости тогда и только тогда, когда функция f(x,y,z) принимает в точках M1 и M2 значения одного знака (см. рис 21).
Точки M1 и M2 лежат по разные стороны от плоскости тогда и только тогда, когда точка M принадлежит отрезку M1M2. Последнее верно тогда и только тогда, когда > 0. Следовательно, точки M1 и M2 лежат по разные стороны от плоскости тогда и только тогда, когда функция f(x,y,z) принимает в точках M1 и M2 значения разных знаков (см. рис 22).
Если точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2) лежат на прямой параллельной плоскости , то они также расположены по одну строну от плоскости . Для того, чтобы это доказать, необходимо взять еще одну точку M2(x3,y3,z3) в том же полупространстве, не лежащую на прямой M1M2. В силу доказанного функция f(x,y,z) принимает в точках M1 и M3, M2 и M2 значения одного знака. Тогда в точках M1 и M2 функция принимает значения одного знака.
Таким образом, функция f(x,y,z) принимает значения одного знака в каждом из полупространств, на которые плоскость разбивает пространство, и в разных полупространствах эти знаки различны.
2. Отложим, от точки M1(x1,y1,z1) вектор n = (A,B,C) и получим такую точку M2(x2,y2,z2), что = n = (A,B,C) (см. рис 23). Отсюда x2 = x1 + A, y2 = y1 + B, z2 = z1 + C. Подставим координаты точки M2 в левую часть уравнения (2) и получим
f(x2,y2,z2) = Ax2 + By2 + Cz2 + D = A(x1 + A) + B(y1 + B) + C(z1 + C)+ D =
= Ax1 + By1 + Cz1+ D + A2 + B2 + C2.
. Так как точка M1(x1,y1,z1). то Ax1 + By1 + Cz1+ D = 0. Поэтому
f(x2,y2,z2) = A2 + B2 + C2 > 0.