3. Взаимное расположение плоскостей. Углы между плоскостями.

Теорема 1. Пусть  и  две плоскости, заданные своими общими уравнениями в аффинной системе координат:

: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0,

: A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0,

A₁² + B₁²+ C₁²  0, A₂² + B₂²+ C₂²  0;

.

Тогда справедливы утверждения:

1. плоскости  и  пересекаются тогда и только тогда, когда

rang A = rang A = 2;

2. плоскости  и  параллельны тогда и только тогда, когда

rang A = 1, rang A = 2;

3. плоскости  и  совпадают тогда и только тогда, когда

rang A = rang A = 1.

Доказательство. Рассмотрим систему линейных уравнений:

(1)

Применим к исследованию системы (1) теорему Кронекера-Капелли.

Рассмотрим матрицу и расширенную матрицы системы (1):

.

Так как матрица А ненулевая, то rang A  1. Имеем rang A = rang A, rang A  rang A  2. Тогда возможны следующие случаи:

1) rang A = rang A = 2. По теореме Кронекера- Капелли система (1) разрешима и плоскости  и  имеют общие точки. Так как при решении системы (1) методом Гаусса число свободных неизвестных равно 1, а не двум, то не все решения системы (1) являются решениями первого уравнения системы и плоскости  и  не совпадают. Следовательно, плоскости  и  пересекаются.

2) rang A = 1, rang A = 2. Тогда система (1) не имеет решений, и плоскости  и  не имеют общих точек, а поэтому параллельны.

3. rang A = rang A = 1. Тогда при приведении системы (1) к ступенчатому виду в системе останется одно из уравнений исходной системы, и система равносильна одному из уравнений системы (1). Следовательно, множество решений системы (1) совпадает с множеством решений одного из уравнений системы (1) и плоскости  и  совпадают.

Обратные утверждения легко доказываются методом от противного. Пусть плоскости пересекаются. Докажем, что rang A = rang A = 2. Допустим противное. Тогда rang A = 1, rang A = 2 или rang A = rang A = 1. Отсюда, по доказанному выше,    или  = . Получаем противоречие с условием. Следовательно, допущение неверно и rang A = rang A = 2. Аналогично рассматриваются случаи    или  = .

Нетрудно проверить, что ранг двухстрочной матрицы равен 1 тогда и только тогда, когда ее строки пропорциональны (проверьте самостоятельно). Тогда из теоремы 1 получаем следующее следствие.

Следствие. 1) Плоскости  и  пересекаются тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных в уравнениях плоскостей непропорциональны:

(2)

2) Плоскости  и  параллельны тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных в уравнениях плоскостей пропорциональны и не пропорциональны свободным членам:

. (3)

3) Плоскости  и  совпадают тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных в уравнениях плоскостей пропорциональны и пропорциональны свободным членам:

. (4)

Замечание 1. Совпадающие плоскости в некоторых случаях считаются также и параллельными, и в этом случае условие параллельности плоскостей может быть записано в виде:

.

Взаимное расположение трех плоскостей.

Пусть ,  и  три плоскости, заданные своими общими уравнениями в аффинной системе координат:

: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0,

: A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0,

: A₃x + B₃y + C₃z + D₃ = 0,

A₁² + B₁²+ C₁²  0, A₂² + B₂²+ C₂²  0, A₃² + B₃²+ C₃²  0. Рассмотрим систему трех уравнений

(5)

и матрицы

.

Заметим, что rang A  rang A и ранги матриц A и A могут отличаться только на единицу. Тогда возможны следующие случаи:

1. rang A = rang A = 3. Тогда система (5) имеет единственное решение и плоскости , ,  пересекаются в одной точке (см. Рис. 10).

2. rang A = rang A = 2. Тогда система (5) имеет бесконечно много решений и плоскости , ,  пересекаются по прямой. При этом, если строки матрицы непропорциональны, то среди плоскостей , ,  нет совпадающих (см. рис 11). Если две строки матрицы пропорциональны, то соответствующие плоскости совпадают (см. Рис. 12).

3. rang A = rang A = 1. Тогда система (5) имеет бесконечно много решений и плоскости , ,  совпадают (см. рис 14).

4. rang A =2, rang A = 3. Тогда система (5) не имеет решений. Если среди строк матрицы A нет пропорциональных, то все три плоскости пересекаются друг с другом и не пересекаются вместе (см. рис 15). Если две из строк матрицы A пропорциональны, то две из плоскостей параллельны и третья их пересекает (см. рис 16).

5. rang A =1, rang A = 2. Тогда система (5) не имеет решений. Если среди строк матрицы A есть пропорциональных, то все две плоскости совпадают друг с другом, а третья им параллельна (см. рис. 17). Если среди строк матрицы A нет пропорциональных строк, то все три параллельны друг с другу (см. рис. 18).

Угол между плоскостями.

Определение 1. Углом между пересекающимися плоскостями называется величина любого из двухгранных углов, который образуется при пересечении плоскостей.

Пусть  и  две плоскости, заданные своими общими уравнениями в прямоугольной системе координат:

: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0,

: A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0,

A₁² + B₁²+ C₁²  0, A₂² + B₂²+ C₂²  0.

Рассмотрим нормальные векторы n₁ = (A₁,B₁,C₁), n₂ = (A₂,B₂,C₂) плоскостей  и . В силу теоремы об углах с соответственно перпендикулярными сторонами угол  между плоскостями  и  равен углу между нормальными векторами n₁ и n₂. По определению скалярного произведения векторов

n₁n₂ = n₁ n₂cos .

Отсюда находим формулу косинуса угла между плоскостями  и :

. (6)

Заметим, что плоскости  и  перпендикулярны тогда и только тогда, когда нормальные векторы n₁ и n₂ этих плоскостей ортогональны. По условию ортогональности векторов последнее равносильно тому, что скалярное произведение n₁n₂ = 0. Так как n₁n₂ = A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂, то получаем теорему.

Теорема 2. Плоскости  и  перпендикулярны тогда и только тогда, когда

n₁n₂ = A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂ = 0. (7)

4. Расстояние от точки до плоскости. Геометрический смысл неравенства Ax + By + Cz + D  0.

Определение 1. Расстоянием от точки M₀ до плоскости  называется длина перпендикуляра, опущенного из точки M₀ на плоскость .

Вычислим расстояние от точки M₀(x₀,y₀,z₀) до плоскости , заданной в прямоугольной системе координат общим уравнением

: Ax + By + Cz + D = 0, A² + B²+ C²  0.

Отпустим из точки M₀(x₀,y₀,z₀) перпендикуляр M₀M₁ на плоскость , M₁ - основание перпендикуляра. Рассмотрим вектор

и нормальный вектор n = (A,B,C) плоскости. Так как векторы и n ортогональны одной и той же плоскости, то он коллинеарны. Вычислим их скалярное произведение двумя способами.

С одной стороны, так как угол  между векторами и n равен 0 или 180⁰, по определению скалярного произведения имеем  n = n cos  =  n = dn, где d расстояние от точки M₀ до плоскости .

С дугой стороны,

 n = A(x₀ - x₁) + B(y₀ - y₁) +C(z₀ - z₁) =

= Ax₀ + By₀ +Cz₀ + (-Ax₁ - B y₁ -C z₁)

Так как точка M₁  , то-Ax₁ - B y₁ -C z₁ = D. Отсюда

dn == Ax₀ + By₀ +Cz₀ + D.

Таким образом, находим формулу расстояния от точки до плоскости

. (1)

Геометрический смысл неравенства Ax + By + Cz + D  0.

В пространстве рассматривается произвольная аффинная система координат.

Теорема 2. Множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют неравенству

Ax + By + Cz + D  0 (2)

A² + B²+ C²  0, является полупространством, ограниченным плоскостью

: Ax + By + Cz + D = 0 (3)

в которой лежит конец вектора n = (A,B,C), отложенного от произвольной точки плоскости .

Доказательство. 1. Сначала покажем, что функция f(x,y,z) = Ax + By + Cz + D принимает значения одинаковых знаков, в точках каждой из полупространств, на которые плоскость  разбивает пространство.

Пусть M₁(x₁,y₁,z₁), M₂(x₂,y₂,z₂) любые две точки пространства, не принадлежащие плоскости , и которые не лежат на прямой параллельной плоскости . Тогда прямая M₁M₂ пересекает плоскость  в точке M(x,y,z), которая делит отрезок в некотором отношении . Координаты точки M вычисляются по формулам:

(4)

и удовлетворяют уравнению плоскости . Тогда справедливо равенство

Отсюда находим

.

Так как точка M₂ , то . Тогда

.

Точки M₁ и M₂ лежат по одну сторону от плоскости  тогда и только тогда, когда точка M не принадлежит отрезку M₁M₂. Последнее верно тогда и только тогда, когда  < 0. Следовательно, точки M₁ и M₂ лежат по одну сторону от плоскости  тогда и только тогда, когда функция f(x,y,z) принимает в точках M₁ и M₂ значения одного знака (см. рис 21).

Точки M₁ и M₂ лежат по разные стороны от плоскости  тогда и только тогда, когда точка M принадлежит отрезку M₁M₂. Последнее верно тогда и только тогда, когда  > 0. Следовательно, точки M₁ и M₂ лежат по разные стороны от плоскости  тогда и только тогда, когда функция f(x,y,z) принимает в точках M₁ и M₂ значения разных знаков (см. рис 22).

Если точки M₁(x₁,y₁,z₁), M₂(x₂,y₂,z₂) лежат на прямой параллельной плоскости , то они также расположены по одну строну от плоскости . Для того, чтобы это доказать, необходимо взять еще одну точку M₂(x₃,y₃,z₃) в том же полупространстве, не лежащую на прямой M₁M₂. В силу доказанного функция f(x,y,z) принимает в точках M₁ и M₃, M₂ и M₂ значения одного знака. Тогда в точках M₁ и M₂ функция принимает значения одного знака.

Таким образом, функция f(x,y,z) принимает значения одного знака в каждом из полупространств, на которые плоскость  разбивает пространство, и в разных полупространствах эти знаки различны.

2. Отложим, от точки M₁(x₁,y₁,z₁) вектор n = (A,B,C) и получим такую точку M₂(x₂,y₂,z₂), что = n = (A,B,C) (см. рис 23). Отсюда x₂ = x₁ + A, y₂ = y₁ + B, z₂ = z₁ + C. Подставим координаты точки M₂ в левую часть уравнения (2) и получим

f(x₂,y₂,z₂) = Ax₂ + By₂ + Cz₂ + D = A(x₁ + A) + B(y₁ + B) + C(z₁ + C)+ D =

= Ax₁ + By₁ + Cz₁+ D + A² + B² + C².

. Так как точка M₁(x₁,y₁,z₁). то Ax₁ + By₁ + Cz₁+ D = 0. Поэтому

f(x₂,y₂,z₂) = A² + B² + C² > 0.