8. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Пусть в пространстве прямя a, в некоторой аффинной системе координат задана параметрическими уравнениями:

(1)

плоскость  задана общим уравнением:

: Ax + By + Cz + D = 0. (2)

Исследуем взаимное расположение прямой и плоскости. Для этого подставим из уравнений (1) в уравнения (2) и получим

A(x₀ + mt) + B(y₀ + kt) + C(z₀ + lt) + D = 0,

(Am + Bk + Cl)t + Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0. (3)

Отсюда и из теоремы о линейном уравнении получаем следующую теорему.

Теорема 1. Пусть дана прямая a и плоскость , заданные соответственно уравнениями (1) и (2). Тогда справедливы следующие утверждения:

1) прямая и плоскость пересекаются тогда и только тогда, когда

Am + Bk + Cl  0; (4)

2) прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда

Am + Bk + Cl = 0, Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D  0; (5)

3. прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда

Am + Bk + Cl = 0, Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0. (6)

Пусть в пространстве прямя a, в некоторой прямоугольной системе координат задана каноническими уравнениями:

а:,

(7)

а плоскость  задана общим уравнением:

: Ax + By + Cz + D = 0. (8)

Определение 1. Углом, между прямой а и плоскостью , которые пересекаются, называется угол между прямой а и ее проекцией на плоскость . Если прямая а и плоскость  параллельны, то угол считается равным нулю.

Рассмотрим угол  между направляющим вектором s = (m,k,l) - прямой а и нормальным вектором n = (A,B,C) плоскости . Тогда угол  между прямой а и плоскостью  равен   2 - . Тогда из формулы для скалярного произведения векторов находим, что

sin  = cos  =.

Отсюда находим, что

. (9)

Прямая а и плоскость  перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор s = (m,k,l) прямой a коллиниарен нормальному вектору n = (A,B,C) плоскости . Последнее равносильно условию . Получаем условие перпендикулярности прямой и плоскости

Am + Bk + Cl = 0. (10)