220400 Алгебра и геометрия Толстиков а.В.

Лекции 16. Билинейные и квадратичные формы.

План

1. Билинейная форма и ее свойства.

2. Квадратичная форма. Матрица квадратичной формы. Преобразование координат.

3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа.

4. Закон инерции квадратичных форм.

5. Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу собственных значений.

6. Критерий Сильверста положительной определенности квадратичной формы.

Рекомендуемая литература

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1984.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997.

3. Воеводин В.В. Линейная алгебра.. М.: Наука 1980.

4. Сборник задач по для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П.. М.: Наука, 1981.

5. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М.: Физматлит, 2001.

[1, с. 263-272, 346-349], [2, 191-177] , [3,с.291-325] , [4, с.140-147] , [6, с.122-132, 372-380]

1. Билинейная форма и ее свойства. Пусть V - n-мерное векторное пространство над полем P.

Определение 1. Билинейной формой, определенной на V, называется такое отображение g: V²  P, которое каждой упорядоченной паре (x, y) векторов x, y из ставит в V соответствие число из поля P, обозначаемое g(x, y), и линейное по каждой из переменных x, y, т.е. обладающее свойствами:

1. (x, y, z V) g(x + y, z) = g(x, z) + g(y, z);

2. (x, y V) (  P) g(x, y) = g(x, y);

3. (x, y, z V) g(x, y + z) = g(x, y) + g(x, z);

4. (x, y V) (  P) g(x, y) = g(x, y).

Пример 1. Любое скалярное произведение, определенное на векторном пространстве V является билинейной формой.

2. Функция h(x, y) = 2x₁ y₁- x₂ y₂ + x₂y₁ , где x = (x₁, x₂), y= (y₁, y₂)R², билинейная форма на R².

Определение 2. Пусть v = (v₁, v₂,…, v_n) - базис векторного пространства V. Матрицей билинейной формы g(x, y) относительно базиса v называется матрица B = (b_ij)_nn, элементы которой вычисляются по формуле b_ij = g(v_i, v_j):

.

Пример 3. Матрица билинейной формы h(x, y) (см. пример 2) относительно базиса e₁= (1,0), e₂ = (0,1) равна .

Теорема 1. Пусть X, Y- координатные столбцы соответственно векторов x, y в базисе v, B - матрица билинейной формы g(x, y) относительно базиса v. Тогда билинейную форму можно записать в виде

g(x, y)=X^tBY. (1)

Доказательство. По свойствам билинейной формы получаем



Пример 3. Билинейной формы h(x, y) (см. пример 2) можно записать в виде h(x, y)=.

Теорема 2. Пусть v = (v₁, v₂,…, v_n), u = (u₁, u₂,…, u_n) - два базиса векторного пространства V, T- матрица перехода от базиса v к базису u. Пусть B = (b_ij)_nn и С = (с_ij)_nn - матрицы билинейной формы g(x, y) соответственно относительно базисов v и u. Тогда

С = T^tBT. (2)

Доказательство. По определению матрицы перехода и матрицы билинейной формы находим:



Определение 2. Билинейная форма g(x, y) называется симметричной, если g(x, y) = g(y, x) для любых x, y V.

Теорема 3. Билинейная форма g(x, y)- симметричной тогда и только тогда, когда матрица билинейной формы относительно любого базиса симметричная.

Доказательство. Пусть v = (v₁, v₂,…, v_n) - базис векторного пространства V, B = (b_ij)_nn - матрицы билинейной формы g(x, y) относительно базиса v. Пусть билинейная форма g(x, y)- симметричная. Тогда по определению 2 для любых i, j = 1, 2,…, n имеем b_ij = g(v_i, v_j) = g(v_j, v_i) = b_ji. Тогда матрица B - симметричная.

Обратно, пусть матрица B - симметричная. Тогда B ^t = B и для любых векторов x = x₁v₁+ …+ x_nv_n = vX, y = y₁v₁+ y₂v₂+…+ y_nv_n = vY V , согласно формуле (1), получаем (учитываем, что число - матрица порядка 1, и при транспонировании не меняется)

g(x, y) = g(x, y)^t = (X^tBY)^t = Y^tB ^tX = g(y, x).