2. Квадратичная форма. Матрица квадратичной формы. Преобразование координат.

Определение 1. Квадратичной формой определенной на V, называется отображение f: V  P, которое для любого векторов x из V определяется равенством f(x) = g(x, x), где g(x, y) - симметричная билинейная форма, определенная на V .

Свойство 1. По заданной квадратичной форме f(x) билинейная форма находится однозначно по формуле

g(x, y) = 1/2(f(x+ y) - f(x)- f(y)). (1)

Доказательство. Для любых векторов x, y V получаем по свойствам билинейной формы

f(x+ y) = g(x+ y, x+ y) = g(x, x+ y) + g(y, x+ y) = g(x, x) + g(x, y) + g(y, x) + g(y, y) = f(x) + 2g(x, y) + f(y).

Отсюда следует формула (1). 

Определение 2. Матрицей квадратичной формы f(x) относительно базиса v = (v₁, v₂,…, v_n) называется матрица соответствующей симметричной билинейной формы g(x, y) относительно базиса v.

Теорема 1. Пусть X = (x₁, x₂,…, x_n)^t - координатный столбец вектора x в базисе v, B - матрица квадратичной формы f(x) относительно базиса v. Тогда квадратичную форму f(x) можно записать в следующих видах:

f(x)=X^tBX , (2)

f(x)= . (3)

Доказательство. Матричная запись квадратичной формы следует из теоремы 1 § 1. Представление квадратичной формы в виде однородного многочлена второй степени от координат x₁, x₂,…, x_n вектора следует из определения произведения матриц (см. доказательство теоремы 1 § 1). 

Квадратичную форму (3) удобно записывать в виде f(x₁, x₂,…, x_n). После приведения подобных членов в (3) квадратичную форму f(x) удобно представить также в виде

f(x₁, x₂,…, x_n) = (4)

Пример 1. Функция h(x, y) = 2x₁ y₁- x₂ y₂ + x₂y₁+ x₁ y₂ , где x = (x₁, x₂), y= (y₁, y₂)R², симметричная билинейная форма на R², которая имеет матрицу

.

Ей соответствует квадратичная форма f(x₁, x₂) = f(x) = h(x, x) = 2x₁² - x₂² + 2x₁x₂, матрица которой совпадает с указанной выше матрицей, и f(x₁, x₂) можно записать в матричном виде:

f(x₁, x₂) =.

Пусть v = (v₁, v₂,…, v_n), u = (u₁, u₂,…, u_n) - два базиса векторного пространства V, T- матрица перехода от базиса v к базису u. Пусть B = (b_ij)_nn и С = (с_ij)_nn - матрицы квадратичной формы f(x) соответственно относительно базисов v и u, X, Y - координатные столбцы вектора x относительно базисов v и u. Тогда по теореме 2 § 1

С = T^tBT. (5)

По формулам преобразования координат X=TY. Тогда квадратичную форму f(x)=X^tBX можно записать в виде

f(x)= (TY)^tB(TY) = Y^t(T^tBT)Y = Y^tСY = h(y₁, y₂,…, y_n). (6)

где Y = (y₁, y₂,…, y_n)^t .

Можно рассмотреть любое линейное преобразование переменных y₁, y₂,…, y_n в x₁, x₂,…, x_n по формулам:

(7)

которое можно сокращенно представить в виде

X=TY, (7)

где X = (x₁, x₂,…, x_n)^t, Y = (y₁, y₂,…, y_n)^t.

По доказанному выше получаем теорему

Теорема 2. При линейном преобразовании переменных (7) квадратичная форма f(x₁, x₂,…, x_n)=X^tBX переходит в квадратичную форму h(y₁, y₂,…, y_n) = Y^tСY, где С = T^tBT . 

Если det T = 0, то преобразование (7) называется вырожденным. Если det T  0, то преобразование (7) называется невырожденным. Для невырожденного преобразования неизвестных существует обратное преобразование переменных x₁, x₂,…, x_n в y₁, y₂,…, y_n по формуле:

Y =T ^-1 X. (8)