2.3 Критерии выбора модели

Модели ARIMA устанавливаются (выбираются) посредством анализа графика исследуемого ряда и сравнения структуры его функций выборочной автокорреляции и частной автокорреляции с известной теоретической структурой процессов ARIMA. Однако в этой процедуре присутствует определенная доля субъективизма и вполне возможно, что две (или более) модели будут достаточно точно отвечать имеющейся структуре функций выборочной автокорреляции и частной автокорреляции. Более того, после оценки и проверки может оказаться, что обе модели вполне адекватно описывают данные. Если модели содержат одинаковое число параметров, то обычно предпочтение следует отдать модели с наименьшей среднеквадратической ошибкой . Если модели содержат различное число параметров, то по принципу экономии рекомендуется более простая модель. Однако модели с большим числом параметров могут иметь существенно меньшую среднеквадратическую ошибку.

Исходя из сказанного, было разработано несколько подходов к выбору модели, учитывающих как качество подгонки модели, так и число ее параметров. Информационный критерий Акаике (Akaike), или AIC, позволяет выбрать наилучшую модель из группы моделей-претендентов. Согласно этому критерию, выбирается модель, которая минимизирует выражение

(6)

где - остаточная сумма квадратов, деленная на количество наблюдений;

n – количество наблюдений (остатков);

r – общее количество слагаемых (включая постоянное слагаемое) в модели ARIMA.

Согласно Байесовскому информационному критерию, разработанному Шварцем (Schwarz), или BIC, отбирается та модель, которая минимизирует следующее выражение.

(7)

Второе слагаемое в формулах критериев AIC и BIC — это "штрафной фактор", учитывающий включение в модель дополнительных параметров. Критерий BIC накладывает большее ограничение на количество параметров в сравнении с критерием А1С. Поэтому минимизация критерия BIC при выборе модели всегда даст количество параметров, не превышающее количество, устанавливаемое согласно критерию AIC. Часто оба критерия дают один и тот же результат.

Критерии AIC и BIC следует рассматривать как дополнительные процедуры, призванные помочь при окончательном выборе модели. Они не способны полностью заменить внимательное изучение поведения выборочных коэффициентов автокорреляции и частной автокорреляции.

2.4 Модели для сезонных данных

Сезонные данные обладают отчетливой структурой, которая повторяется каждый год. В месячных данных с годичной сезонной структурой значения для одних и тех же месяцев в разные годы должны коррелировать между собой, т.е. январь одного года должен быть похож на январь следующего, февраль одного гола - на февраль следующего и т.д. Следовательно, связаны между собой (коррелировать) должны не только отдельные наблюдения в течение одного и того же года, но и наблюдения с периодом, кратным целому году. Если длительность сезонного периода обозначить S, то для месячных данных с годовой структурой S= 12, а для квартальных данных с такой же структурой S = 4. Коэффициенты автокорреляции и частной автокорреляции подобных данных будут отличны от нуля при небольших интервалах запаздывания (внутригодовые взаимосвязи) и при интервалах, кратных периоду сезонности S (междугодовые взаимосвязи). Интерпретация коэффициентов автокорреляции и частной автокорреляции при сезонных интервалах будет такой же, как и для коэффициентов автокорреляции и частной автокорреляции при малых интервалах.

Сезонные модели ARIMA включают в себя обычные авторегрессионные члены и члены скользящего среднего, отвечающие за корреляции при низких интервалах, а также авторегрессионые члены и члены скользящего среднего, отвечающие за автокорреляции и частные автокорреляции при сезонных интервалах. В случае нестационарных сезонных рядов для достижения полноты описания часто необходимо дополнительно учесть в модели сезонные разности.