2.1.3 Модели с авторегрессий и скользящим средним

Можно скомбинировать авторегрессионную модель и модель со скользящим средним, что в итоге дает "смешанную" модель - авторегрессия-скользящее-среднее. При описании такой модели удобно использовать обозначение ARMA(p, q), где p - это порядок авторегрессионной части модели, a q – порядок части скользящего среднего. Модель ARMA(p, q) имеет общий вид:

(3)

Модели ARMA(p, q) могут описывать широкий спектр поведений стационарных временных рядов. Модель ARMA(р, q) делает прогноз, который зависит как от текущего и прошлого значений отклика Y, так и от текущих и прошлых значений величины ошибки (остатка).

На рис. А3 приводится уравнение модели ARMA(1,l) и возможное поведение теоретических функций автокорреляции и частной автокорреляции. В этом случае коэффициенты как автокорреляции, так и частной автокорреляции постепенно затухают, не обрываясь на определенном шаге.

2.2 Реализация стратегии разработки модели

2.2.1 Этап 1 Определение модели

1. На этапе определения модели следует выяснить, является ли ряд стационарным, т.е. изменяются ли значения временного ряда в окрестности некоторого фиксированного уровня. Для этого полезно посмотреть на график временного ряда и график выборочной автокорреляционной функции. Временные ряды являются нестационарными, если в значениях ряда со временем проявляется рост или спад, а график функции выборочной автокорреляции демонстрирует отсутствие быстрого исчезновения значимых коэффициентов.

Часто нестационарные ряды можно преобразовать в стационарные путем взятия разности. Иначе говоря, исходный ряд заменяется рядом разностей. В этом случае модель ARMA определяется для ряда разностей. В сущности, в этом случае аналитик моделирует поведение изменений значений вместо поведения их уровня.

В некоторых случаях, для того чтобы получить стационарные данные, необходимо будет найти разности разностей. Процедура взятия разности выполняется дважды, и в итоге данные получаются стационарными.

В принципе, взятие разностей может проводиться до тех пор, пока график данных не покажет, что ряд изменяется в окрестности некоторого фиксированного уровня, а выборочные автокорреляции довольно быстро обрываются. Число повторений взятия разности, необходимых для получения стационарного поведения данных, обозначается буквой d.

Модели для нестационарных временных рядов называются авторегрессионными интегральными моделями со скользящим средним и обозначаются ARlMA(p, d, q). Здесь параметр р соответствует порядку авторегрессионной части модели, параметр d определяет разностный порядок, а параметр q указывает порядок компоненты скользящего среднего. Если исходный ряд является стационарным, то d=0 и модель ARIMA упрощается до модели ARMA. Поэтому начиная с этого момента запись (p, d, q) будет применяться для обозначения моделей как стационарных (d= 0), так и нестационарных (d> 0) временных рядов.

Несмотря на то что в моделях ARIMA фигурируют разности, из подобранной модели всегда может быть сделан прогноз непосредственно для исходных временных рядов.

2. После того как будет получен стационарный ряд, аналитику необходимо определить общие характеристики модели, которую предполагается использовать.

На этом шаге выполняется сравнение коэффициентов автокорреляции и частной автокорреляции, рассчитанных для данных, с теоретическими значениями для различных моделей ARIMA. Чтобы облегчить выбор подходящих моделей, на рис. А1-А3 были приведены теоретические значения коэффициентов корреляции для наиболее распространенных типов моделей.

Каждая модель ARIMA имеет собственный характерный набор коэффициентов автокорреляции и частной автокорреляции, и аналитик должен уметь сопоставлять выборочные значения с теоретическими.

При определении подходящей модели ARIMA на основе структуры выборочных функций автокорреляции и частной автокорреляции может иметь место некоторая неоднозначность. Поэтому начальный выбор модели должен рассматриваться как пробный. Анализ адекватности выбранной модели 8еалии8яется на 2 и 3 шагах. В случае ее неадекватности можно попытаться применить иную модель.

Если выборочные автокорреляции экспоненциально стремятся к нулю, а частные автокорреляции быстро отсекаются, то в модели должны присутствовать авторегрессионные слагаемые. Если выборочные автокорреляции быстро отсекаются, а частные автокорреляции плавно стремятся к нулю, то в модели должны присутствовать слагаемые скользящего среднего. Если же оба графика, как выборочной автокорреляции, так и частной автокорреляции, плавно стремятся к нулю, то это указывает на необходимость включить в модель слагаемые обоих типов. Порядок составляющих МА и AR можно определить, сосчитав количество значимых слагаемых в выборочных автокорреляциях и частных автокорреляциях. Для того чтобы сделать вывод о значимости коэффициентов корреляции обоих типов, их значение обычно сравнивают с величиной , где n – количество наблюдений в исследуемом временном ряду. Такое ограничение оправдывается в тех случаях, когда n достаточно велико.

При равных условиях всегда следует отдавать предпочтение более простым моделям. Это правило известно как принцип экономии. Имея ограниченное количество данных, относительно просто найти модель с большим числом параметров, которая будет хорошо их аппроксимировать. Однако прогноз на основе такой модели будет, вероятнее всего, плохим вследствие большого разброса значений данных, вызванного наличием случайных ошибок в моделировании. Поэтому главной целью является построение наиболее простой модели, что позволит адекватно отразить основные особенности имеющихся данных.