2.1.2 Авторегрессионные модели

Авторегрессионная модель порядка р имеет вид:

(1)

где - отклик (зависимая переменная) в момент времени t,

- отклик при значениях интервалов времени t-1, t-2,…, t-р соответственно,

- оцениваемые коэффициенты,

- ошибка, описывающая влияния переменных, которые не учитываются в модели. Предположения относительно слагаемого ошибки те же, что и для стандартной регрессионной модели.

Модель в уравнении имеет вид регрессионной модели с использованием в качестве независимой переменной запаздывающих значений зависимой переменной, откуда и происходит ее название – авторегрессионая модель. Авторегрессионные модели применимы для стационарных временных рядов, а коэффициент зависит от постоянного уровня ряда. Если данные изменяются в окрестности нуля или выражаются как отклонение от среднего значения, коэффициент равен нулю.

Уравнения модели AR первого порядка (модель AR(1)) и модели AR второго порядка (модель AR(2)) показаны на рис. А1. На рис. А1, а и б иллюстрируется поведение теоретических функций автокорреляции и функций частной автокорреляции для модели AR(1). Автокорреляционные коэффициенты постепенно убывают до нуля, тогда как частные автокорреляционные коэффициенты после первого промежутка времени обращаются в нуль. Рис. А1, в и г демонстрируют автокорреляции для модели AR(2). И вновь автокорреляционные коэффициенты плавно убывают до нуля, в то время как частные автокорреляционные коэффициенты после второго промежутка времени обращаются в нуль. Подобный тип графиков в целом сохранится для любой модели AR(р). Необходимо помнить о том, что набор автокорреляционных функций будет отличаться от этих теоретических функций вследствие вариаций выборки,

Для авторегрессионных моделей прогнозы зависят от значений данных, наблюдаемых в предыдущие промежутки времени. Для моделей AR(2) прогнозы последующих значений зависят от наблюдений в течение двух предыдущих периодов времени. Для моделей AR(3) прогнозы последующих значений зависят от наблюдений в течение трех предыдущих периодов времени и т.д.

2.1.3 Модели со скользящим средним

Модель со скользящим средним порядка q задается следующим уравнениием:

(2)

где - отклик (зависимая переменная) в момент времени t,

- постоянное среднее процесса

- оцениваемые коэффициенты

- ошибки в предыдущие периоды времени, которые в момент t включены в отклик .

Уравнение 2 похоже на уравнение 1, за исключением того, что зависимая переменная Y, зависит от предыдущих значений ошибок, вместо самой переменной. Модели со скользящим средним (МА) дают прогноз значения функции, основываясь на линейной комбинации ограниченного числа прошлых ошибок, тогда как авторегрессионные модели (AR) дают прогноз, на основании линейной функции аппроксимации ограниченного числа прошлых значений Y.

Использование термина скользящее среднее для модели в уравнении 2 является историческим, и его нельзя путать с процедурой скользящего среднего. Здесь, выражение скользящее среднее относится к тому факту, что отклонение отклика от его среднего, является линейной комбинацией текущих и прошлых ошибок, а так как время движется вперед, то ошибки, включенные в эту линейную комбинацию, также будут смещаться вперед.

Весовые коэффициенты не обязательно в сумме дают 1 и могут быть положительными или отрицательными, несмотря на то что каждому из них предшествует знак минус в описании модели.

На рис. А2 показано уравнение модели со скользящим средним порядка 1 (модель МА(1)) и модели со скользящим средним порядка 2 (модель МА(2)). Для получения модели MA(q) необходимо последовательно добавлять ошибки в качестве слагаемых, а величина q — это количество прошлых ошибок, которые были включены в прогноз последующих наблюдений. На рис. А2, а и б иллюстрируется также поведение теоретических коэффициентов автокорреляции и частной автокорреляции для модели МА(1). Функции автокорреляции и частной автокорреляции моделей AR и МА ведут себя совершенно по-разному. Автокорреляционные коэффициенты для модели МА(1) обращаются в нуль сразу после запаздывания в один период, в то время как частные автокорреляционные коэффициенты приближаются к нулю постепенно. Соответственно, в модели МА(2) автокорреляционные коэффициенты равны нулю после запаздывания в два периода, тогда как частные автокорреляционные коэффициенты плавно приближаются к нулю (рис. А2, в и г). Выборочные автокорреляционные функции будут отличаться от этих теоретических функций вследствие вариаций выборки.

При вычислении прогнозов с помощью моделей скользящего среднего, ошибки, соответствующие прошедшим периодам времени, заменяются остатками для этих периодов времени. Количество остатков, включенных в прогноз последующих наблюдений, равно порядку модели скользящего среднего.