Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ и задания к лабораторной работе на тему «Корреляционный и регрессионный анализ» с применением ПЭВМ по дисциплине «Экономический анализ (теория)» для студентов  специальностей 7.050104 «Финансы и кредит» 7.050106 «Учет и аудит» 7.050107 «Экономика предприятий» дневной формы обучения Севастополь 2011

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

Корреляционный и регрессионный анализ как метод изучения и прогнозирования экономических показателей

ЦЕЛЬ: Усвоить основные идеи корреляционного анализа и расчета коэффициента корреляции, овладеть методом построения регрессионных уравнений экономических показателей.

Процесс прогнозирования экономических показателей носит вероятностный характер, поэтому при прогнозировании их наибольший эффект дают методы корреляционного и регрессионного анализов.

Сначала проведем корреляционный анализ.

Предположим, что произведена выборка n значений показателя в ретроспективном периоде (или имеются данные n выборочных наблюдений) и влияющего на него фактора. В результате получен ряд значений признака (y)

y₁, y₂, …, y_n

и влияющего на него фактора (x)

x₁, x₂, …, x_n

Корреляционный анализ позволяет количественно оценить тесноту связи между признаком и фактором.

Наличие и количественную характеристику связи между признаком и фактором можно определить с помощью оценки коэффициента корреляции R, который вычисляется по формуле:

(1)

где средние значения х и у вычисляются по формулам:

и

x_i, y_i - фактические значения фактора и признака при наблюдении или в год ретроспективного периода;

- среднее значение фактора и признака;

n - число наблюдений или число лет в ретроспективном периоде.

Коэффициент корреляции определяет тесноту связи между x и y и называется линейным коэффициентом корреляции.

Величина коэффициента корреляции изменяется

-1 £ R £ 1

При R = - 1 или R = 1 имеет место строгая пропорциональность в изменении y и x, при R =0 связь между y и x отсутствует, что обозначает их независимость.

Коэффициент корреляции вычисляется по выборочным данным и, как любой другой статистический показатель, может быть определен с некоторой погрешностью. При отсутствии корреляционной связи между признаками коэффициент корреляции в генеральной совокупности равен нулю, однако из-за случайного характера отбора данных выборочный коэффициент корреляции может быть и отличен от нуля. В связи с этим возникает необходимость проверки значимости коэффициента корреляции вычисленного на основании отбора данных. Выборочный коэффициент корреляции считается значимым, если выводы относительно наличия и характера корреляционной связи, сделанные на основании выборки, справедливы и для генеральной совокупности.

Рассмотрим способы оценки значимости коэффициента корреляции.

Каждому значению коэффициента корреляции соответствует случайная величина t, подчиненная распределению Стьюдента с К = n - 2 степенями свободы,

Вычисленное по этой формуле значение t сравнивают с критическим значением t_k,a, которое находят по таблице распределения Стьюдента при заданных уровне значимости и числе степеней свободы К. Если , то различие между выборочным коэффициентом корреляции и коэффициентом корреляции r, равным нулю, незначимо, а отличие от нуля r объясняется случайным характером отбора данных.

В практических расчетах уровень значимости a принимают равным 0,05. Значения статистики Стьюдента при a = 0,05 в зависимости от числа степеней свободы К приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Распределение Стьюдента при a = 0,05

К	t	K	t	K	t	K	t	K	t
1	12.71	9	2.26	17	2.12	25	2.06	45	2.01
2	4.30	10	2.23	18	2.10	26	2.06	50	2.01
3	3.18	11	2.20	19	2.09	27	2.05	60	2.00
4	2.78	12	2.18	20	2.09	28	2.05	70	2.00
5	2.57	13	2.16	21	2.08	29	2.05	80	1.99
6	2.45	14	2.15	22	2.07	30	2.04	90	1.99
7	2.37	15	2.13	23	2.07	35	2.03	100	1.98
8	2.31	16	2.12	24	2.06	40	2.02	120	1.98

Затем производится регрессионный анализ. Он состоит из трех этапов:

1. логического анализа;

2. графического анализа;

3. определения уравнения теоретической линии регрессии, т.е. установления функциональной зависимости между признаком и фактором.

При логическом анализе эмпирических данных экономического показателя и значений влияющего на него фактора в ретроспективном периоде можно сделать некоторые предположения относительно наличия и направления связи между признаком и фактором.

На этапе графического анализа числовые значения фактора (x_i) откладываются на оси абсцисс, а значение признака (y_i)- на оси ординат. Точки на графике, соответствующие каждой паре значений x_i и y_i, образуют поле корреляции. По характеру расположения точек можно судить о направлении и форме связи. Соединив последовательно точки на плоскости, получим ломаную линию, называемую эмпирической линией регрессии. По ее виду можно предположить тип теоретической линии регрессии.

Экономико-математические модели прогноза строятся в виде уравнений регрессии, в которых в качестве зависимой переменной величины (функции) выступает экономический показатель, в качестве независимых переменных (аргументов) - формирующие его факторы.

Рассмотрим случай, когда экономический показатель зависит от одного фактора. Функция в таком случае называется однофакторной, а уравнение регрессии - парной регрессией.

Процесс нахождения теоретической линии регрессии заключается в выборе и обосновании типа кривой и расчете параметров ее уравнения. Теоретическая линия регрессии представляется в виде прямой либо плавной кривой, выражающейся математическим уравнением того или иного типа.

Наиболее распространенные математические формы связи результативного у и факторного х признаков следующие:

Линейная
Гиперболическая
Параболическая
Экспоненциальная
Степенная
Логарифмическая
Показательная

После выбора формы связи, рассчитываем параметры теоретического уравнения регрессии.

Способ расчета параметров теоретического уравнения регрессии основан на требовании максимальной близости ее к эмпирической линии регрессии. Для отыскания параметров используем метод наименьших квадратов, который основан на том, что из множества зависимостей вида у = f(x) наилучшим образом приближающейся к эмпирической линии регрессии является та, для которой сумма квадратов отклонений фактических значений признака от вычисленных по этому уравнению является наименьшей.

При линейной математической форме связи неизвестные коэффициенты и определяются из решения системы уравнений:

(2)

Решение этой системы:

(3)

Для гиперболической зависимости система нормальных уравнений имеет вид:

(4)

Для параболической зависимости система из 3-х уравнений имеет вид:

(5)

Для показательной регрессии параметры находятся из решения системы из 2-х уравнений:

(6)

Для логарифмической регрессии решается система из следующих уравнений (7) для нахождения её параметров

(7)

Системы (2), (4-7) можно решать способом алгебраического сложения, подстановки, методом Гаусса, Жордана - Гаусса, Крамера.

Если уравнение регрессии определяется в виде экспоненциальной или степенной зависимости, то путем замены и логарифмирования приводят ее к линейному виду и для линеаризованной функции используют систему нормальных уравнений вида (2)

Параметры экспоненциальной регрессии находят по формулам:

(8) y

- степенной

(9)

Оценку степени близости полученной экономико-математической модели к фактическим данным можно определить по корреляционному отношению:

(10)

Ошибка уравнения регрессии, показывающая в среднем отклонения фактических данных от теоретических, равна:

(11)

где n-m - число степеней свободы;

m - число определяемых в уравнении регрессии параметров.

Среднеквадратическое отклонение уравнения регрессии определяет меру близости эмпирических данных y_i с j_i теоретическими, найденным по уравнению регрессии.

Оценивается значимость уравнения регрессии. В связи с этим высказывается гипотеза, что все коэффициенты регрессии, кроме равны нулю (эта гипотеза называется нулевой и обозначается H₀)/

Проверка гипотезы H₀ осуществляется с помощью статистики Фишера:

(12)

где Q, Q_ост - сумма квадратов отклонений результативного признака соответственно от среднего значения и от условного среднего (х1, х2, ... ,хn);K1 = m; K2=n-m-1. При заданном уровне значимости a для степеней свободы К1 и К2 по таблице F - распределения

Фишера находят критическое значение F (К1, К2, a) и сравнивают его с расчетным, определенным по формуле (12). Если F³F (K!,K2, a) то гипотезу H₀ об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии отвергают и уравнение регрессии считают значимым. Если же F£F (K1, K2 a), то уравнение регрессии считают незначимым, т.е. отвергается влияние факторных признаков х1, х2, ... хm на результативный. В практике статистических расчетов уровень значимости a принимают равным 0,05. Это значит, что при F = F (К1, К2, a) вероятность того, что гипотеза Н₀ справедлива, составляет 0,05; при F>F (К1, К2, a ) все коэффициенты регрессии могут иметь нулевые значения с вероятностью, меньшей 0,05. Если же F<F (К1, К2, a), то вероятность справедливости нулевой гипотезы становится больше 0,05 и ею уже нельзя пренебрегать. Значения F (К1, К2, a) при a= 0,05 приведены в таблице 2.

Таблица 2 – Распределение Фишера при a = 0,05

	К1
К2 	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	161.0	200.0	216.0	225.0	230.0	234.0	237.0	239.0	241.0	242.0
2	18.51	19.0	19.16	19.25	19.30	19.33	19.36	19.37	19.38	19.39
3	10.13	9.55	9.28	9.12	9.01	8.94	8.88	8.84	8.81	8.78
4	7.71	6.94	6.59	6.39	6.26	6.16	6.09	6.04	6.00	5.96
5	6.61	5.79	5.41	5.19	5.05	4.95	4.88	4.82	4.78	4.74
6	5.99	5.14	4.76	4.53	4.39	4.28	4.21	4.15	4.10	4.06
7	5.59	4.74	4.35	4.12	3.97	3.87	3.79	3.73	3.68	3.63
8	5.32	4.46	4.07	3.84	3.69	3.58	3.50	3.44	3.39	3.34
9	5.12	4.26	3.86	3.63	3.48	3.37	3.29	3.23	3.18	3.13
10	4.96	4.10	3.71	3.48	3.33	3.22	3.14	3.07	3.02	2.97
12	4.75	3.88	3.49	3.26	3.11	3.00	2.92	2.85	2.80	2.76
14	4.60	3.74	3.34	3.11	2.96	2.85	2.77	2.70	2.65	2.60
16	4.49	3.63	3.24	3.01	2.85	2.74	2.66	2.59	2.54	2.49
18	4.41	3.55	3.16	2.93	2.77	2.66	2.58	2.51	2.46	2.41
20	4.35	3.49	3.10	2.87	2.71	2.60	2.52	2.45	2.40	2.35
25	4.24	3.38	2.99	2.76	2.60	2.49	2.41	2.34	2.28	2.24
30	4.17	3.32	2.92	2.69	2.53	2.42	2.34	2.27	2.21	2.16
40	4.08	3.23	2.84	2.61	2.45	2.34	2.25	2.18	2.12	2.07
50	4.03	3.18	2.79	2.56	2.40	2.29	2.20	2.13	2.07	2.02
60	4.00	3.15	2.76	2.52	2.37	2.25	2.17	2.10	2.04	1.99
80	3.96	3.11	2.72	2.48	2.33	2.21	2.12	2.05	1.99	1.95
100	3.94	3.09	2.70	2.46	2.30	2.19	2.10	2.03	1.87	1.92

Уравнение регрессии позволяет установить характер влияния факторных признаков на результативный.

По знаку коэффициента регрессии определяется направление влияния признака на результативный признак: положительный знак указывает на возрастание исследуемой величины при увеличении фактора отрицательный - на ее уменьшение.

Абсолютное значение коэффициента регрессии показывает, насколько единиц увеличится (уменьшится) результативный признак при увеличении факторного на единицу.

С помощью полученного уравнения регрессии можно определить выровненные значения показателя в ретроспективном периоде, подставив фактические значения x в уравнение регрессии. Прогноз показателя осуществляется следующим образом: в найденную функцию подставляют задаваемые значения фактора в прогнозируемом периоде и получают планируемую величину показателя.

Если имеется динамический ряд изменения экономического показателя, то процесс прогнозирования можно изобразить, как показано на рис.1.

Пусть уравнение связи y = f(t)

Y Аппроксимация Экстраполяция

0 1 2 n n+1 n+k t

Рис. 1. Процесс прогнозирования

эмпирическая линия регресии;

теоретическая линия регресии;

k - длина планируемого периода.