Контрольный пример

Задание: Построить экономико-математическую модель платежеспособного спроса на продукты питания от уровня доходов семьи по данным проведенного опроса 8 групп семей (в т.грн). Спрогнозировать уровень расходов на питание при доходе 20.2, 22.4 и 26.5 тыс.грн

Таблица 1 – Исходные данные

Доходы семьи (х)	1,4	3,3	5,5	7,6	9,8	12,0	14,7	18,9
Расходы на питание (у)	1,1	1,4	2,0	2,4	2,8	3,1	3,5	4,0

Построим график зависимости

Рисунок 1 – График зависимости расходов на питание от доходов семьи

Исходя из построенного графика, можно предположить наличие прямой линейной зависимости. Проверим данное предположение, рассчитав линейный коэффициент корреляции Пирсона. Составим вспомогательную таблицу.

Таблица 2 – Дополнительные расчеты

N	Доходы семьи (Хi)	Расходы на питание (Yi)	Xi*Yi	(Xi-Xcp)^2	(Yi-Ycp)^2	Хi^2
1	1,4	1,1	1,54	60,06	2,07	1,96
2	3,3	1,4	4,62	34,22	1,29	10,89
3	5,5	2	11	13,32	0,29	30,25
4	7,6	2,4	18,24	2,40	0,02	57,76
5	9,8	2,8	27,44	0,42	0,07	96,04
6	12	3,1	37,2	8,12	0,32	144
7	14,7	3,5	51,45	30,80	0,93	216,09
8	18,9	4	75,6	95,06	2,14	357,21
Итого	73,2	20,3	227,09	244,42	7,12	914,2
Среднее	9,15	2,5375	х	х	х	х

Оценим корреляционную связь между фактором и признаком по формуле (1)

R = 0,99118051

Коэффициент корреляции указывает на весьма тесную прямую связь между доходами и расходами семьи на продукты питания.

Проверим значимость коэффициента корреляции с помощью критерия Стьюдента t=25.853. Т.к. полученное t (25.853) больше t_k,a (2.45), то R значим.

Определим параметры линейного уравнения регрессии вида y=a+b*x из системы уравнений (2):

8a + 73,2b = 20,3

73,2a + 914,2b = 227,09

По формулам (3): b = 0,169156 и a=0,989727

Экономико-математическая модель расходов на продукты питания в зависимости от уровня дохода семей имеет вид:

= 0,99 + 0,17*x

С экономической точки зрения полученное уравнение означает: минимальные расходы семьи на питание (даже если доходов в периоде не было) составляют 0,99 тыс.грн. При росте доходов семьи на 1 тыс.грн расходы на питание возрастут на 0,17 тыс.грн.

Проверим точность расчётов и определим: является ли полученное уравнение регрессии наиболее близким к эмпирической линии регрессии и самым точным?

Для этого воспользуемся предложенными программами и предложенными формулами (10) и (11), а результаты занесем в 2 таблицы.

Таблица 3 – Сводная таблица основных результатов

Показатель	Программа	Результат
Коэффициент корреляции	KOR. EXE	0,99118
Уравнение линейной регрессии	LIN. EXE	y= 0,9897+0,1692*x
Уравнение параболической регрессии	PARAB. EXE	y= 0,716 + 0,249*x - 0,004*x^2
Уравнение гиперболической регрессии	GIPER. EXE	y= 3,297 - 3,714/x
Уравнение степенной регрессии	STEP. EXE	y= 0,845*x^0,52
Уравнение показательной регрессии	POKAZ. EXE	y= 1,20*1,075^x
Уравнение экспоненциальной регрессии	EXP. EXE	y= 1,203*exp(0,073*x)
Уравнение логарифмической регрессии	LOGAR. EXE	y= 0,32 + 1,133*LOG(x)

Таблица 4 – Вспомогательные расчеты для определения наиболее близкого уравнения регрессии

N	Õi	Yi	Y lin	(Yi-Ylin)^2	Y parab	(Yi-Ypar)^2	Y giper	(Yi-Ygip)^2	Y step	(Yi-Yst)^2	Y pokaz	(Yi-Ypo)^2	Y exp	(Yi-Yex)^2	Y logar	(Yi-Ylog)^2
1	1,4	1,1	1,23	0,017	1,06	0,002	0,64	0,212	1,01	0,008	1,33	0,053	1,33	0,053	0,7	0,160
2	3,3	1,4	1,55	0,023	1,49	0,008	2,17	0,593	1,57	0,029	1,53	0,017	1,53	0,017	1,67	0,073
3	5,5	2	1,92	0,006	1,97	0,001	2,62	0,384	2,05	0,002	1,79	0,044	1,79	0,044	2,25	0,063
4	7,6	2,4	2,28	0,014	2,38	0,000	2,81	0,168	2,43	0,001	2,09	0,096	2,09	0,096	2,62	0,048
5	9,8	2,8	2,65	0,023	2,77	0,001	2,92	0,014	2,77	0,001	2,45	0,123	2,45	0,123	2,91	0,012
6	12	3,1	3,02	0,006	3,13	0,001	2,99	0,012	3,08	0,000	2,88	0,048	2,88	0,048	3,14	0,002
7	14,7	3,5	3,48	0,000	3,51	0,000	3,04	0,212	3,42	0,006	3,5	0,000	3,5	0,000	3,37	0,017
8	18,9	4	4,19	0,036	3,99	0,000	3,1	0,810	3,9	0,010	4,75	0,563	4,75	0,563	3,65	0,123
прогноз1	20,2	?	4,41	x	4,11	x	3,11	x	4,04	x	5,22	x	5,22	x	3,73	x
прогноз2	22,4	?	4,78	x	4,28	x	3,13	x	4,26	x	6,13	x	6,13	x	3,84	x
прогноз3	26,5	?	5,47	x	4,5	x	3,16	x	4,65	x	8,26	x	8,26	x	4,03	x
				0,126		0,013		2,405		0,058		0,943		0,943		0,497
				0,145		0,051		0,633		0,098		0,397		0,397		0,288
				0,991		0,999		0,814		0,996		0,931		0,931		0,964

Таким образом, наименьшая ошибка параболического уравнения регрессии (0,051) при максимальном значении , значит для прогнозирования данных (апроксимации или экстраполяции) будет использовано уравнение вида: y= 0,716 + 0,249*x - 0,004*x^2.

Нанесем на график эмпирическую линию и три наиболее близких линии регрессии (линейная, параболическая, степенная).

Рисунок 2 – Линии регрессии и прогнозирование данных

Ошибка параболического уравнения регрессии находится в допустимых пределах, но можно окончательно убедиться в значимости параметров уравнения регрессии с помощью статистики Фишера (12) и проверки гипотезы Но.

Q = 7.11875 Qост=0,013 F = 728.7949

Сравним полученное значение F с табличным F (К1, К2, a): 728.7949>6.59. Значит, гипотеза Но отвергается и параметры уравнения считаются значимыми.

Выводы:

1. Зависимость между расходами на питание и доходами семьи носит прямой характер, а тесноту связи можно охарактеризовать как очень тесную, переходящую в функциональную (R=0.99).

2. Поскольку R значим и указывает на тесную связь между признаками, можно провести регрессионный анализ зависимости.

3. Выбрано самое близкое из рассчитанных уравнений регрессии – параболическое вида y= 0,716 + 0,249*x - 0,004*x^2. Ошибка уравнения регрессии не существенная и параметры уравнения значимы.

4. Для заданных уровней доходов семей определены прогнозные значения расходов:

при доходах в размере 20.2 тыс.грн расходы на питание составят 4.11 тыс.грн

при доходах 22.4 тыс грн расходы на питание достигнут величины 4.28 тыс.грн

при доходах 26.5 тыс.грн можно ожидать расходы на питание в размере 4.5 тыс.грн

5. В общем виде полученное уравнение регрессии можно так экономически интерпретировать: поскольку ветки параболы опущены вниз, то максимальное значение У (расходы на питание) будет достигнуто в её вершине при доходах (Х) равных 31.125 тыс.грн. При этом расходы составят 4.585 тыс.грн. Если вспомнить поведение параболы при достижении её вершины и учесть угол наклона ветвей параболы, то можно сделать вывод, что при доходах семьи от 25 до 37 тыс.грн расходы будут различаться незначительно и составлять в среднем 4.5 тыс.грн.

К О Н Т Р О Л Ь Н Ы Е З А Д А Н И Я

1. По данным годовых отчетов 10 промышленных предприятий провести корреляционный и регрессионный анализ зависимости себестоимости товарной продукции у (усл. ден. ед.) от производительности труда (усл. ден. ед. на человека) Сделать экономическую постановку задачи прогнозирования .

2. Провести логический и графический анализ исходных данных. Построить эмпирическую линию регрессии.

3. Рассчитать линейный коэффициент корреляции сначала без ПЭВМ, а затем, показав предварительно результат преподавателю, с использованием ПЭВМ (загрузив программу KOR. EXE)

4. Провести подбор функции y =f(x) и определить ее параметры , используя метод наименьших квадратов, а также используя следующие программы (перед загрузкой каждой программы:

Для экспоненциальной регрессии- EXP.EXE

- гиперболической регрессии- GIPER.EXE

- линейной регрессии - LIN.EXE

- логарифмической регрессии - LOGAR.EXE

- параболической регрессии - PARAB.EXE

- показательной регрессии - POKAZ.EXE

- степенной регрессии - STEP.EXE

Данные программы работают в режиме "меню", поэтому исходные данные вводятся в соответствии с запросами программ.

5. Построить теоретическую линию регрессии.

6. Рассчитать ошибку уравнения регрессии, теоретическое корреляционное отношение.

7. Осуществить прогноз по найденному уравнению регрессии для трех заданных прогнозных значений.

Частично задание можно выполнить с использованием возможностей EXCEL.