МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

Севастопольский государственный технический университет

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по дисциплине «Экономический анализ(теория)»

к лабораторным занятиям по теме: «Особенности

и область применения в экономическом анализе

линейного программирования»

с применением ПВЭМ для студентов специальностей

7.050206 «Учет и аудит» и 7.050104 «Финансы».

Разработано:

доц.Мараховская Т.А.

СЕВАСТОПОЛЬ

1998

ОСОБЕННОСТИ И ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ В АНАЛИЗЕ ХОЗЯЙСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ (ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОДОМ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПЭВМ )

ЦЕЛЬ РАБОТЫ : изучение метода линейного программирования для оптимизации

материальных и трудовых затрат в производстве.

1.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ .

1.1.ВВЕДЕНИЕ.

Управление хозяйственной деятельностью начинается с планирования. Различные варианты плана связаны с неодинаковыми материальными и трудовыми затратами. Поэтому выбор наиболее оптимального из них во многом определяет конечные результаты.Его преимущества перед другими планами устанавливают с помощью критерия оптимальности F. Для промышленных и сельскохозяйственных предприятий оптимальным считается план,обеспечивающий выпуск заданного объёма продукции при минимальных затратах, а также получение максимума прибыли при ограниченном объёме ресурсов.

Критерий (показатель) оптимальности F(x) называют функцией плана,а сравниваемые варианты планов(x) - аргументами этой функции.

Выбор оптимального плана можно рассматривать как математическую задачу максимизации или миними-зации значения целевой функции.Один из математических методов нахождения минимума функции,аргумен-ты которой выбираются из ограниченной области допустимых значений,- это линейное программирование.

Линейное программирование позволяет определять экстремальное (минимальное или максимальное) значение искомой величины (максимального объёма производства,минимальных затрат на производство заданного объёма продукции,максимальной прибыли и т.д.) при определённых ограничениях и характеризуется линейной зависимостью между переменными.

К задачам линейного программирования относятся следующие :

- задача о назначениях (как распределить рабочих по станкам,чтобы общая выработка была наибольшей или затраты на заработную плату наименьшими и т.п.);

- задача о раскрое (помогает с наименьшими отходами использовать листы металла,стекла,картона и других материалов при их раскрое на заданные количества деталей различных размеров);

- задача о смесях (определение такого рациона,который удовлетворял бы потребностям человека или животного в питательных веществах при минимальной общей стоимости используемых продуктов);

- транспортная задача (требуется найти такой план доставки грузов от поставщиков к потребителям,чтобы стоимость перевозки была наименьшей)и т.д.

Существует множество методов решения этих задач. Все эти методы могут быть разделены на две группы :

- К первой группе относятся универсальные методы,позволяющие решать практически любые задачи линейного программирования.Наиболее распространенным из универсальных является симплекс-метод и его модификации.

- Вторую группу составляют специальные методы,к которым относятся : венгерский метод,распредели тельный метод,метод разрешающих слагаемых А.Л.Лурье и др. В частности,специальным является и геометрический (графический) метод,обеспечивающий простое и наглядное решение в частных случаях.

1.2.ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЛП-ЗАДАЧ :

Если общее число переменных ЛП-задачи n=2 или она может быть

сведена к соответствующей задаче с числом независимых переменных k=2,то такая

задача может быть легко решена графическим методом. Итак,пусть ЛП-задача имеет

вид: максимизировать f(x ,x )=(c x +c x ) (1)

при ограничениях

g (x ,x )<b ;

g (x ,x )<b ; (2)

. . . . . . . .

g (x ,x )<b ;

x >0, x >0. (3)

Графический метод решения заключается в следующем .

X2

X2 X2

2 Fmaax

2

3 1 F=C2

1 Xорт

R 3 F=C1

R

N Fmax Fmax

0 X1 4 X1 0 X1

а б в

рис.1

1.Строим допустимое множество решений R , определяемое (2) и (3).

2.Далее строим вектор нормали N к целевой функции f(x ,x ).Его проекция на ось Ox равна kc , a на ось Ox - kc ,где k - произвольный положительный скаляр .

Заметим , что N указывает направление возрастания f (x ,x ).

3.Перемещаем прямую f(x ,x ) = const в направлении N так , чтобы она оставалась перпендикулярной N до тех пор , пока эта прямая не выйдет на границу множества R.

При этом возможен один из следующих случаев :

а)f(x ,x ) и R будут иметь лишь одну общую точку (крайнюю точку R ); эта точка определяет единственное оптимальное решение ;

б)f(x ,x ) и R имеют целое множество общих точек , это будет в том случае , когда вектор N окажется нормален к соответствующей грани множества R, данное множество общих точек представляет собой множество оптимальных решений задачи ;

в)прямая f(x ,x ) = const не выходит на границу множества R, сколько бы её не перемещали (это будет в случае, если множество R - неограниченно ), тогда целевая функция f(x ,x ) оказывается также неограниченной .Соответствующие случаи иллюстрируются рис 1 а, б, в. Заметим , что при решении задачи минимизации f(x, x) перемещают в направлении , противоположном N.

1.3. Алгоритм решения задачи «симплекс-методом»

1.3.1 По условию задачи определите:

- что является ресурсами? (по ресурсам всегда указан удельный расход (Aij) и даны ограничения, т.е. максимально доступное количество – (Вj))

- что является вариантами или направлениями использования ресурсов?

- что является целевой функцией (т.е. какую величину необходимо максимизировать)?

1.3.2. Примите за Хi – количество единиц варианта i вида (количество изделий i-го вида, пакетов ценных бумаг i-го вида). С использованием принятого обозначения запишите:

- по каждому виду ресурсов в виде неравенства ограничения по расходу

- значения Хi не могут быть отрицательными

Также запишите в общем виде значение целевой функции, т.е. функции, учитывающей вклад каждого варианта и стремящейся к мах

1.3.3. Перейдите от системы неравенств к системе равенств, введя значения остатков (Уi – остаток ресурсов i-го вида). При этом У оставляется в левой части y, а все остальные переносим в правую часть, но знак «-» ставят не перед значением удельного расхода, а ставят перед Х

В связи изменениями знака переменных необходимо внести изменения в целевую функцию задачи F= (-С₁)(-X₁) + (-С₂)(-X₂) + (-С₃)(-X₃) → max.

Таким образом, для решения системы уравнений при переходе к матрице решений выносятся в столбцы значения (-Хi) …, в строках за границы матрицы выносят обозначение Уj.

	-X1	-X2	- X3
y1	A11	A12	A13	B1
y2	A21	A22	A23	B2
y3	A31	A32	A33	B3
F	A41 (-C1)	A42 (-C2)	A43 (-C3)	B4 (0)

1.3.4. Далее полученную матрицу необходимо оптимизировать.

Этапы оптимизации целевой функции:

- поиск опорного решения, опорному решению соответствует симплекс – таблица с неотрицательными значениями всех свободных членов в строке F;

- поиск оптимального решения:

а) выбор разрешающего столбца - для этого в F-cтроке выбирают наибольший по модулю отрицательный элемент столбца свободного члена (мах по модулю отрицательное (-С₁; -С₂; - С₃) =например -Х₃);

б) выбор разрешающей строки - для этого находим минимальное частное от деления элементов столбца свободных членов на соответствующем им элементы, разрешающего столбца (Q = мин (В₁/А₁₃; В₂/А₂₃; В₃/А₃₃) - например В₂);

в) на пересечении разрешённого столбца и разрешённой строки выбирают разрешённый элемент (А₂₃);

г) выполняем преобразование исходной симплексной таблицы с записью результатов в новую таблицу, начиная всегда с пересчета разрешённого элемента: ;

* пересчет элементов разрешённой строки:

* пересчет элементов разрешённого столбца ; ;

* прочие элементы таблицы внешние свободные члены и элементы F строки вычисления по правилу прямоугольника: проводит прямоугольник ч/з элемент, подлежит пересчету и ч/з разрешённый элемент и пересчет по формуле: ; ;

д) При создании новой симплекс-таблицы необходимой учитываемой изменении, которая возникает при замене в шапке таблицы значения разрешённого столбца и разрешения строки.

е) оптимального решения соответствующего симплекса таблицы y которые все элементы F-строки положительны. До того, момента, когда появляется критерий оптимальной выполняется все вышеперечисленные действия.

	-X1	-X2	Y2	В
y1	A11	A12	A13	A14
-x3	A21	A22	A23	A24
y3	A31	A32	A33	A34
F	A41	A42	A43	A44

1.3.5. Не забывайте интерпретировать промежуточные и конечную (оптимизированную) матрицы. Помните, что столбец В – всегда отвечает за результаты (это и значение вариантов, и величина возможных остатков), строка F – это всегда влияние на целевую функцию, величина переменных стоящих или вышедших в столбцы (кроме В) =0. Пересечение Х и У – это количество вовлеченных (высвобождаемых) ресурсов при изменении структуры выпуска (реализации вариантов); Х и Х – соотношение внедряемых и изымаемых из производства вариантов; У и У - -«»- ресурсов.

1.4.КОНТРОЛЬНЫЙ ПРИМЕР .

Необходимо решить экономическую задачу линейного программирования с использованием графического метода решения.

Экономическое содержание задачи состоит в следующем:

Швейная фабрика выпускает два вида изделий: костюм мужской "двойка" и жилеты. Для выпуска продукции используется два вида материала, а именно : ткань костюмная и ткань подкладочная; а также используется фурнитура. Предприятие располагает данными видами ресурсов в определённых количествах. Расход материалов и фурнитуры на единицу каждого вида изделия и количество имеющихся на предприятии ресурсов приведены в таблице:

Вид ресурсов	Расход ресурсов на единицу изделия		Количество ресурсов, имеющихся у предприятия
	Костюм «двойка»	Жилет
Ткань костюмная, м	4	0,7	95000
Ткань подкладочная, м	2	0,6	49400
Фурнитура, шт	12	21	660000

Необходимо определить максимальный выпуск продукции с учётом имеющихся ресурсов.