Розділ 4. Кінематика абсолютно твердого тіла

В кінематиці, як і в статиці, всі тіла будемо розглядати як абсолютно тверді, тобто будемо вважати, що відстань між двома довільними точками тіла в процесі руху залишається незмінною. З іншого боку тверде тіло будемо розглядати як систему матеріальних точок, жорстко зв’язаних між собою.

Задати рух твердого тіла в просторі означає задати рух кожної його точки. Оскільки рух кожної точки тіла описати неможливо через їх нескінченну кількість, то серед всеможливих рухів твердого тіла виділимо ті, для задання руху яких достатньо задати рух скінченної кількості точок. Такі рухи твердого тіла будемо називати найпростішими, а всі інші рухи будемо розглядати як комбінацію найпростіших.

4.1. Найпростіші рухи твердого тіла

4.1.1. Поступальний рух твердого тіла. Поступальним називається такий рух твердого тіла, при якому довільна пряма або її частина, проведені в цьому тілі, залишається в процесі руху паралельною сама собі.

Поступальний рух здійснюють кузов автомобіля на горизонтальній ділянці дороги, спарники коліс локомотива, педалі велосипеда.

Кінематика поступального руху твердого тіла визначається такою теоремою: всі точки твердого тіла при поступальному русі мають однакові кінематичні характеристики (швидкості, прискорення і траєкторії).

Д

(4.1)

ля доведення теореми розглянемо два положення тіла, які відповідають моментам часу та . Виберемо в тілі дві довільні точки які в моменту часу визначаються радіус-векторами . Позначимо через образи точок в момент часу при поступальному русі (рис. 4.1). За означеннями твердого тіла і поступального руху можна записати

.

Це означає, що чотирикутник паралелограм, тому .

Рис. 7.1. Поступальний рух твердого тіла

Поділивши останю векторну рівність на і перейшовши до границі при , маємо

.

На підставі означення вектора швидкості матеріальної точки одержимо

(4.2)

Диференціюючи (4.2) по часу , знаходимо з врахуванням (3.10)

(4.3)

На підставі (4.1) можна записати

.

Остання рівність показує, що траєкторію точки можна сумістити з траєкторією точки паралельним перенесенням на вектор .

Оскільки точки вибиралися довільно, то з одержаних результатів випливає, що у всіх точках тіла однакові швидкості, прискорення і траєкторії. Теорема доведена.

На підставі доведеної теореми поступальний рух твердого тіла повністю визначається рухом довільної його точки. Це означає, що задача кінематики поступального руху твердого тіла зводиться до задачі кінематики матеріальної точки (розділ 3).

При поступальному русі спільну для всіх точок тіла швидкість називають швидкістю поступального руху тіла, а прискорення – прискоренням поступального руху. Вектори і можуть бути прикладені до довільної точки тіла.

4.1.2. Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі. Розглянемо тверде тіло і деяку нерухому вісь , яка незмінно з ним зв’язана. Вважаємо, що вісь закріплена за допомогою підшипника і підп’ятника (рис. 4.2).

Обертальним рухом твердого тіла навколо нерухомої осі називається такий рух, при якому кожна його точка рухається по колу, центр якого належить осі обертання , радіус цього кола дорівнює відстані від точки до осі обертання, а площина кола проходить через розглядувану точку перпендикулярно до осі обертання.