![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Частина друга. Кінематика вступ до кінематики
- •Розділ 3. Кінематика матеріальної точки
- •3.1. Способи задання руху точки
- •3.2. Кінематичні характеристики руху точки
- •Матеріальної точки
- •3.3. Окремі випадки руху точки
- •3.4. Задачі до розділу 3
- •Розділ 4. Кінематика абсолютно твердого тіла
- •4.1. Найпростіші рухи твердого тіла
- •Тіла навколо нерухомої осі
- •Тіла навколо нерухомої осі
- •Тіла навколо нерухомої осі
- •Тіла навколо нерухомої осі
- •Тіла навколо нерухомої осі
- •Прискорення як векторні величини
- •4.2. Плоскопаралельний рух твердого тіла
- •4.3. Задачі до розділу 4
- •Розділ 5. Кінематика складного руху матеріальної точки і абсолютно твердого тіла
- •5.1. Складний рух матеріальної точки
- •При складному русі
- •5.2. Складний рух твердого тіла
- •Обертального та поступального рухів
- •5.3. Задачі до розділу 5
- •Розділ 6. Кінематика механізмів
- •6.1. Структурний аналіз механізмів та їх класифікація
- •6.2. Кінематичний аналіз плоских важільних механізмів другого порядку однократної рухомості з нижчими кінематичними парами
- •Ланок кривошипно-коромислового механізму
- •Кривошипно-повзункового механізму
- •Кривошипно-кулісного механізму
- •6.3. Кінематичний аналіз плоских механізмів методом графічного диференціювання (кінематичних діаграм).
- •6.3. Механізми для передачі обертального руху
- •6.5. Механізми для передачі обертального руху з гнучкими ланками
- •6.6. Плоскі кулачкові механізми
- •З коливним рухом штовхача
- •(Повернуто на 900 проти годинникової стрілки)
- •6.7. Кінематичний синтез кулачкових механізмів
- •Кулачкового механізму в двз
3.2. Кінематичні характеристики руху точки
3.2.1. Швидкість
точки. Нехай рух матеріальної
точки відносно вибраної системи відліку
задано векторним рівнянням
.
Розглянемо момент часу
,
якому відповідає вектор
і точка
на траєкторії. Надамо часу
приросту
.
Часу
відповідає вектор
і точка
на траєкторії. Точки
і
визначають вектор
,
який називається приростом вектора
за час
.
Зауважимо, що вектор
залежить від
(рис. 3.4).
Величина
називається вектором середньої швидкості
матеріальної точки за час
.
Границя
цього вектора при
називається вектором миттєвої
швидкості точки в момент часу
(3.5)
В довільний момент часу формулу (3.5) можна записати у вигляді
(3.6)
На
підставі (3.6) можна зробити такий висновок:
вектор швидкості руху матеріальної
точки в довільний момент часу, дорівнює
похідній від радіус-вектора точки в цей
же момент часу і характеризує зміну
положення точки відносно вибраної
системи відліку з часом.
В
Рис.
3.4. Переміщення
Матеріальної точки
напрямлений вздовж січної
.
При зменшенні
січна буде обертатися навколо точки
і в граничному положенні стане дотичною
до траєкторії в точці
.
Таким чином, вектор швидкості точки
напрямлений вздовж дотичної до траєкторії
в напрямку руху.
Вектори
і
завжди прикладені до матеріальної
точки.
Припустимо, що рух матеріальної точки задано координатним способом
;
;
Позначимо
через
проекції вектора її
швидкості
на координатні осі. Тоді на підставі
(3.6) маємо
П
(3.7)
;
;
Величину
вектора швидкості
і кути
які він утворює з координатними осями
відповідно визначаємо за формулами
векторної алгебри
(3.8)
;
;
При натуральному способі задання руху точки рівняння руху має вигляд
На підставі формули (3.6) можна записати
.
Тут
враховано, що
.
Таким чином,
(3.9)
Формули (3.6)-(3.9) дозволяють визначити вектор швидкості в будь-який момент часу при довільному способі задання руху точки.
3.2.2.
Прискорення точки.
Швидкість руху матеріальної точки в
кожен момент часу характеризує зміну
положення точки відносно вибраної
системи відліку. Разом з тим швидкість
руху точки є функцією часу. Тому для
повного кінематичного аналізу руху
точки необхідно ввести ще одну кінематичну
характеристику яка називається
прискоренням.
Нехай рух матеріальної точки задано векторним способом
;
.
Р
Рис.
4.5. До визначення прискорення
матеріальної точки,
для якого визначимо вектор
.
Часу
надамо приросту
і визначимо вектор
.
Вектор
називається
приростом вектора
за час
(рис. 3.5).
Величину
будемо називати вектором середнього
прискорення за проміжок часу
.
Границя
при
визначає миттєве прискорення матеріальної
точки в момент часу
З врахуванням (3.6) цю формулу можна записати так
(3.10)
Вектор прискорення руху матеріальної точки дорівнює похідній по часу від вектора швидкості і характеризує зміну швидкості з часом. Він завжди прикладений до матеріальної точки.
Припустимо, що рух точки задано координатним способом
;
;
Позначивши
через
проекції на координатній осі прискорення
,
на підставі (3.10) одержимо
.
Порівняємо відповідні координати в лівій і правій частинах
(3.11)
;
Аналогічно
до (3.8), величина і напрямок вектора
визначаються за формулами:
(3.12)
;
;
,
де
– кути, які утворює вектор
з
координатними осями
відповідно.
Якщо рух матеріальної точки задано натуральним способом, то
;
.
Позначимо
через
одиничний вектор дотичної до траєкторії
в розглядуваній точці так, щоб виконувалася
умова
.
Диференціюючи
останню рівність по
одержимо
(3.13)
Використаємо формулу Френе із курсу диференціальної геометрії
,
д
Рис.
5.6. До визначення
прискорення матеріальної точки
– радіус кривини траєкторії в розглядуваній
точці;
– вектор головної нормалі траєкторії,
який перпендикулярний до
і напрямлений до центра кривини траєкторії
(рис. 3.6). В результаті простих перетворень
із (3.13) одержимо
(3.14)
О Рис.
6.7. До визначення
прискорення матеріальної точки
,
а інша, яка напрямлена по головній
нормалі, називається нормальним
прискоренням
(рис. 3.7)
;
.
Величини цих складових і повного прискорення обчислюються за формулами
(3.15)
;
.
Зауважимо,
що при
, а при
.