3.3. Окремі випадки руху точки

3.3.1. Прямолінійний рух точки. Якщо траєкторією руху матеріальної точки є пряма, то такий рух називається прямолінійним. Систему відліку оберемо так, щоб одна з координатних осей співпадала з траєкторією. В цьому випадку координатний і натуральний способи задання руху еквівалентні.

Якщо рівняння руху точки по траєкторії має вигляд , то на підставі формул (3.9), (3.15) одержимо

(3.16)

; ;

Тут враховано, що для прямої .

3.3.2. Рівнозмінний прямолінійний рух точки. Прямолінійний рух точки називається рівнозмінним, якщо в кожний момент часу

.

Якщо , то рух називається рівноприскореним, при – рівносповільненим, якщо – рівномірним.

За означенням рівнозмінного руху

,

або

.

Інтегруючи останню рівність

о

(3.17)

держимо

Тут – початкова швидкість точки.

З іншого боку

або

де . Після інтегрування знаходимо

(3.18)

Ф

(3.19)

ормули (3.17) та (3.18) визначаюсь основні кінематичні співвідношення рівнозмінного прямолінійного руху. Якщо в них покласти , то одержимо відповідні формули для рівномірного прямолінійного руху

; .

3.3.3. Рівнозмінний криволінійний рух точки. Довільний рух матеріальної точки називається рівнозмінним, якщо в кожен момент часу . Основні кінематичні співвідношення для такого руху при натуральному способі задання мають вигляд

(3.20)

; ; ; .

По аналогії з п.3.3.2 для рівнозмінного криволінійного руху одержимо такі співвідношення

(3.21)

; ; .

Якщо в них покласти , то одержимо відповідні співвідношення для криволінійного рівномірного руху

(3.22)

; ; .

3.4. Задачі до розділу 3

Задача 3.1. Літак в момент посадки на смугу включив гальмівну систему. За перші 20 секунд він проїхав 1100 м, а протягом наступних 10 секунд ще 325 м. Визначити при якій швидкості почалося гальмування літака, чому дорівнювало його сповільнення, якщо воно було сталим; яку відстань проїхав літак до зупинки і за який час?

Розв’язання. Початок і час відліку виберемо в місці і в момент дотику літака до смуги. Тоді

На смузі літак здійснює рівнозмінний прямолінійний рух, для якого

(1)

.

В моменти часу с і с знаходимо м і м.

На підставі (1) одержимо

(2)

Підставляємо числові значення в співвідношення (2)

Розв’язавши дану систему, знаходимо: м/с, м/с².

Для визначення часу зупинки літака використаємо умову , з якої знаходимо

с.

Визначаємо шлях літака до зупинки

м.

Задача 3.2. Матеріальна точка здійснює прямолінійний рух із стану спокою з прискоренням, яке пропорційне часу. За перші дві секунди точка пройшла відстань 0,16 м. Визначити середню швидкість і середнє прискорення точки за час від восьмої до десятої секунди.

Розв’язання. В початковий момент часу маємо

За умовою задачі , де – коефіцієнт пропорційності. На підставі залежності можна записати

.

Інтегруючи цю залежність, одержимо

або

(1)

.

Рівність (1) визначає закон зміни швидкості з часом.

Враховуючи в рівності (1) співвідношення , можна записати

або

.

Після інтегрування визначаємо закон зміни відстані з часом

(2)

.

Для визначення значення використаємо умову м.

м/с³.

Тоді основні кінематичні характеристики руху точки запишуться у вигляді

.

Середні швидкість і прискорення за час с визначаємо за формулами

м/с;

м/с².

Задача 3.3. Рух матеріальної точки в площині задано рівняннями . Визначити рівняння траєкторії, а також швидкість, дотичну і нормальну складові прискорення, повне прискорення та радіус кривини траєкторії в момент часу с.

(1)

Розв’язання Для визначення траєкторії необхідно із рівнянь руху виключити час . З другого рівняння визначаємо і підставляємо в перше рівняння

.

Рівняння (1) визначає параболу вісь якої співпадає з віссю (рис. 1).

Визначаємо проекції вектора швидкості на координатні осі і швидкість точки

; м/с; .

Аналогічно визначаємо проекції вектора прискорення і повне прискорення точки

Рис. 1. До розв’язку задачі 3.3.

м/с²; ; м/с².

Визначаємо тангенціальну складову прискорення

.

Нормальну складову прискорення можна визначити за формулою

.

Радіус кривини траєкторії визначаємо із співвідношення

.

Знаходимо значення шуканих величин в момент часу с

м/с; м/с²; м/с²;

м/с²; м.

Задача 3.4. Автомобіль, рухаючись із стану спокою рівноприскорено по кільцевій ділянці дороги радіусом 200 м, через дві хвилини розвинув швидкість 108 км/год. Визначити швидкість автомобіля через одну хвилину після початку руху, його повне прискорення і шлях пройдений автомобілем за цей час.

Розв’язання. В початковий момент руху автомобіля маємо

Основні кінематичні співвідношення криволінійного рівнозмінного руху (3.21) в даному випадку мають вигляд

,

де – стале тангенціальне прискорення.

В момент часу с швидкість дорівнює м/с.

Тоді

або

м/с².

Визначаємо кінематичні характеристики руху автомобіля в момент часу с.

м/с; м/с²;

м/с²; м.