Домашняя самостоятельная работа № 9 Элементы топологии.

1. Являются ли для пространства множества и топологями на ?

2. Пусть , является ли топологией множество ?

3. Какие из топологий задач 1 и 2 удовлетворяют аксиоме Колмогорова?

4. Доказать, что прямая с дискретной топологией удовлетворяет аксиоме .

5. Доказать, что все точки Хаусдорфова пространства замкнуты.

6. Что из перечисленного является метрикой для декартова произведения пространств и :

1. 

2. ;

3. 

7. Доказать эквивалентность метрик задачи 6.

Контрольная работа № 2

1. Даны два вектора и b . Найти вектор с длины 1, перпендикулярный векторам a и b и направленный так, чтобы упорядоченная тройка a, b, c имела положительную ориентацию.

2. Доказать тождество

3. Даны две точки A и B, расстояние между которыми равно 2c. Найти геометрической место точек, абсолютная величина разности квадратов расстояний от которых до точек A и B равна

4. Определить тип кривой и сделать чертеж

5. Определить тип поверхности

6. Найти кривизну и радиус кривизны параболы в вершине.

7. Найти длину дуги параболы при

Теоретический опрос № 2

1. Дать определение скалярного произведения векторов.

2. Сформулировать неравенство Коши-Буняковского.

3. Описать процесс ортогонализации Грамма – Шмидта.

4. Дать развернутое определение смешанного произведения векторов.

5. Выписать основные виды уравнений кривых второго порядка.

6. Сформулировать основные свойства гиперболы.

7. Сколько существует канонических видов поверхностей второго порядка?

8. Выписать формулу для нахождения длины кривой в метрическом пространстве.

9. Выписать формулу для нахождения радиуса кривизны кривой в метрическом пространстве.

10. Дать определение регулярной поверхности.

11. Сформулировать теорему Бонне.

12. Выписать формулы Гаусса-Петерсона - Кодацци.

13. Дать определение топологического пространства.

14. Сформулировать аксиомы топологии.

15. Дать определение метрики.