13. Требования к экзамену

К экзамену допускаются студенты, успешно справившиеся (получившие оценки не ниже 3) со всеми домашними и контрольными работами.

На экзамене студент должен знать основные понятия курса, уметь доказывать основные теоремы, решать основные (типовые) задачи по темам курса (из самостоятельных работ).

14. Контрольные материалы (образцы) Вопросы к экзамену:

1. Общие понятия групп, колец, полей: аксиоматика и примеры.

2. Группы подстановок: разложение в произведение независимых циклов, четные и нечетные подстановки.

3. Кольца и поля вычетов.

4. Основные операции над матрицами, лемма «бухгалтера», кольцо матриц.

5. Матрицы и действия над ними. Трансвекции и диагональные матрицы. Транспонирование матриц.

6. Определитель квадратной матрицы. Основные свойства определителей. Теорема о разложении определителя. Миноры и алгебраические дополнения.

7. Обратимая матрица. Единственность обратной матрицы и ее вычисление. Формулы Крамера. Запись системы линейных уравнений в матричной форме.

8. Системы линейных уравнений с обратимой матрицей. Критерий совместности системы линейных уравнений.

9. Однородная система с квадратной матрицей. Фундаментальная система решений однородной системы. Связь между решениями систем АХ=В и АХ=0. Общее решение совместной системы.

10. Векторное пространство над полем: аксиомы, примеры, линейные комбинации, линейная зависимость, эквивалентные наборы векторов.

11. Теорема о замене, ранг набора векторов, теорема о ранге и её следствие.

12. Базис пространства, теорема о базисе и её следствие.

13. Матрица перехода, ее невырожденность, связь между координатами в разных базах.

14. Подпространство, сумма и пересечение подпространств, связь между их размерностями, прямая сумма.

15. Линейное отображение (ЛО) и его матрица. Координаты образа, связь между матрицами ЛО в разных базах, подобные матрицы.

16. Образ и ядро, ранг и дефект линейного преобразования. Теорема - определение невырожденного линейного преобразования.

17. Собственные числа и собственные векторы линейного преобразования. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным числам.

18. Скалярное произведение геометрических векторов и его основные свойства. Определение (абстрактного) евклидова векторного пространства, примеры.

19. Векторное пространство . Скалярное произведение и ортогональный базис в пространстве Rⁿ.

20. Длина вектора и угол между векторами, неравенство Коши-Буняковского, неравенство треугольника.

21. Ортонормированные системы векторов, процесс ортогонализации Грама- Шмидта.

22. Ориентация базиса векторного пространства.

23. Векторное и смешанное произведение векторов, площадь параллелограмма и объем параллелепипеда.

24. Плоские кривые второго порядка, их канонические уравнения и свойства. Приведение уравнения кривой к каноническому виду.

25. Канонические уравнения и геометрические свойства поверхностей. Приведение к каноническому виду уравнения поверхности.

26. Понятие кривой. Длина кривой в метрическом пространстве. Длина участка пути как функция параметра. Стандартные пути (естественно параметризованные кривые).

27. Единичный касательный вектор, вектор кривизны и связанные с ними понятия. Вычисление единичного касательного вектора и вектора кривизны, формулы Френе.

28. Дифференциальная геометрия поверхностей. Регулярные поверхности. Кривизна кривой на поверхности, первая и вторая квадратичные формы.

29. Теорема Бонне.

30. Теорема Гаусса и формулы Гаусса-Петерсона-Кодацци.

31. Топологическое пространство. Возможность введения различных топологических структур на одном и том же множестве. База топологии.

32. Аксиомы отделимости. Хаусдорфово топологическое пространство. Метрическое пространство как топологическое пространство. Классическая и концентрическая топологии на прямой и плоскости.

Варианты самостоятельных и контрольных работ: