Домашняя самостоятельная работа № 1 Группы, кольца, поля.

1. Пусть – множество всех движений плоскости, - композиция. Является ли

группой? Если да, то является ли данная группа абелевой?

2. Доказать, что нейтральный элемент в группе единственный.

3. Доказать, что обратный элемент в группе единственный.

4. Пусть - группа, причем для всякого выполнено . Доказать, что абелева.

5. Доказать, что пересечение двух подгрупп группы является подгруппой группы .

6. Доказать, что числа вида с рациональными образуют поле. Найти в этом поле число, обратное числу 2.

7. Перемножить подстановки:

1. ;

2. 

3. 

8. Найти .

9. Найти декремент

10. Найти все подгруппы группы .

11. В найти обратный элемент к подстановке

12. Доказать, что число четных и нечетных подстановок в одинаково.

13. Доказать, что множество всех четных подстановок образует группу относительно операции умножения подстановок.

14. В найти обратные ко всем элементам.

15. Найти в значения

Домашняя самостоятельная работа № 2

Матрицы, основные операции, определители.

Решить следующие задачи:

13, 16, 21, 47, 64, 69, 261, 276, 795, 800, 802, 809, 839, 843, 863, 866, 869, 882

из учебника Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре, М.: Наука, 1984.

Домашняя самостоятельная работа № 3

Системы линейных уравнений.

Решить следующие задачи:

26, 28, 77, 82, 85, 86, 557, 571, 610, 620, 690, 698, 725

из учебника Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре, М.: Наука, 1984.

Домашняя самостоятельная работа № 4

Векторные пространства.

Решить следующие задачи:

637, 643, 644, 666, 676, 680, 1281, 1311, 1313, 1317, 1321

из учебника Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре, М.: Наука, 1984.

Домашняя самостоятельная работа № 5

Линейные отображения.

Решить следующие задачи:

1441, 1446, 1453, 1467, 1471, 1474

из учебника Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре, М.: Наука, 1984.

Контрольная работа № 1

1. Решить систему уравнений методом Крамера:

2. Решить систему уравнений методом Гаусса:

3. Исследовать совместность, найти общее и одно частное решение системы:

4. Найти собственные числа и собственные вектора матрицы: .

5. Найти ранг матрицы в зависимости от параметра : .

6. Найти базис ядра и базис образа линейного преобразования, заданного матрицей:

.

7. Линейное преобразование в базисе имеет матрицу Найти матрицу этого преобразования в базисе

8. Являются ли линейными преобразования:

1. 

2. 

3. 

9. Найти базис суммы и базис пересечения подпространств

и

10. Доказать, что собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Теоретический опрос № 1

1. Дать определение группы.

2. Дать определение подгруппы.

3. При каких условиях коммутативное кольцо с единицей является полем?

4. Дать определение подстановки.

5. Дать определение декремента.

6. Сформулировать теорему о разложении подстановки.

7. При каких условиях кольцо вычетов является полем?

8. Дать определение матрицы.

9. Дать определение определителя матрицы.

10. Перечислить основные свойства определителей.

11. Дать определение ранга матрицы.

12. Сформулировать теорему о ранге.

13. Сформулировать критерий совместности СЛУ.

14. Дать определение векторного пространства над полем.

15. Сформулировать теорему о базисе.

16. Дать определение линейного отображения.

17. Сформулировать теорему-определение невырожденного линейного преобразования.

18. Дать определение собственного вектора ЛО.

Домашняя самостоятельная работа № 6

Скалярное произведение, ортогонализация. Евклидово пространство.

Решить следующие задачи:

1351, 1354, 1356, 1358, 1360, 1363

из учебника Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре, М.: Наука, 1984;

9, 10, 50, 133, 134, 138, 140, 152, 157, 167, 176, 178, 190, 194, 202 (1, 2)

из учебника Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии, М.: Наука, 1976.

Домашняя самостоятельная работа № 7

Кривые в метрическом пространстве.

Дифференциальная геометрия поверхностей

1. Определить типы кривых и сделать чертежи:

1. b)

3. d)

5. 

6. 

2. Определить типы поверхностей:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. .

Домашняя самостоятельная работа № 8

Кривые в метрическом пространстве.

Дифференциальная геометрия поверхностей.

1. Найти кривизну винтовой линии: .

2. Вычислить кривизну и радиус кривизны кривой в точке x=1.

3. Найти кривизну и радиус кривизны параболы в вершине.

4. Найти кривизну эллипса в вершинах.

5. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке

6. Найти длину дуги параболы при

7. Показать, что замкнутая кривая имеет длину 10.

8. Доказать, что у кривой кривизна и кручение равны.

9. Составить уравнение поверхности вращения кривой вокруг оси Oz.

10. Для поверхности найти:

1. Площадь криволинейного треугольника

2. Длины сторон этого треугольника;

3. Углы этого треугольника.

11. Найти вторую квадратичную форму поверхности вращения