- •Федеральное агентство по образованию
- •«Новосибирский государственный университет» (нгу)
- •Программа учебной дисциплины алгебра и аналитическая геометрия
- •2. Место учебной дисциплины в структуре основной профессиональной образовательной программы:
- •3. Рекомендуемое количество часов/зачетных единиц на освоение примерной программы учебной дисциплины:
- •4. Внешние требования
- •5. Особенности Примерный перечень особенностей построения учебного курса и их краткая характеристика
- •6. Объем учебной дисциплины, формы и методы организации учебного процесса
- •7. Цели
- •8. Структура курса
- •9. Тематический план и содержание учебной дисциплины
- •10. Учебная деятельность
- •11. Требования к минимальному материально-техническому обеспечению
- •12. Информационное обеспечение обучения
- •13. Требования к экзамену
- •14. Контрольные материалы (образцы) Вопросы к экзамену:
- •Домашняя самостоятельная работа № 1 Группы, кольца, поля.
- •Теоретический опрос № 1
- •Домашняя самостоятельная работа № 9 Элементы топологии.
- •Контрольная работа № 2
- •Теоретический опрос № 2
8. Структура курса
Алгебра и геометрия
(цели 1-14)
Основные
алгебраические структуры
(цели
1, 2)
Группы, кольца,
поля
(цели 1 – 3, 10 – 14)
Векторные
пространства и линейные отображения
(цели 1, 2)
Векторные
пространства
(цели 1, 2, 5, 10 – 14)
Матрицы, основные
операции, определители
(цели 1 – 3, 10 – 14)
Системы линейных
уравнений (СЛУ)
(цели 1, 2, 4, 6, 10 –
14)
Линейные отображения
(ЛО)
(цели 1 – 5, 10 – 14)
Аналитическая и
многомерная евклидова геометрия
(цели 1, 2)
Скалярное
произведение, ортогонализация. Евклидово
пространство
(цели 1, 2, 6, 10 – 14)
Поверхности второго
порядка
(цели 1, 2 ,7, 10 – 14)
Плоские кривые
второго порядка
(цели 1, 2, 7, 10 – 14)
Дифференциальная
геометрия кривых и поверхностей
(цели
1, 2)
Кривые в метрическом
пространстве
(цели 1, 2, 9, 10 – 14)
Дифференциальная
геометрия поверхностей
(цели 1, 2, 9, 10 – 14)
Элементы топологии
(цели 1, 2)
Топологические
пространства
(цели 1, 2, 3, 7 – 14)
9. Тематический план и содержание учебной дисциплины
Наименование разделов и тем |
Содержание учебного материала, практические занятия, самостоятельная работа обучающихся |
Объем часов/зачетных единиц |
Ссылки на цели курса |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
Раздел 1. |
Основные алгебраические структуры |
|
|
|
Тема 1.1. Группы, кольца, поля |
Содержание учебного материала |
|||
1 |
Общие понятия групп, колец, полей: аксиоматика и примеры. Группы подстановок: разложение в произведение независимых циклов, четные и нечетные подстановки. |
3 |
1, 2, 4 |
|
2 |
Кольца и поля вычетов по модулю n, кольцо матриц. Подгруппы, подкольца и подполя. |
|||
Практические занятия |
||||
1 |
Задачи на определения группы, кольца и поля. |
2 |
4, 10 – 13 |
|
2 |
Задачи на тему группа подстановок. |
|||
3 |
Задачи на тему кольца вычетов. |
|||
Самостоятельна работа студента – выполнение домашней самостоятельной работы № 1. |
4 |
4, 10 – 14 |
||
Тема 1.2. Матрицы, основные операции, определители |
Содержание учебного материала |
|||
1 |
Квадратные и прямоугольные матрицы и действия над ними. Трансвекции и диагональные матрицы. Транспонирование матриц. |
3 |
1, 2, 4 |
|
2 |
Определитель квадратной матрицы. Основные свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. |
|||
3 |
Обратимая матрица. Единственность обратной матрицы и ее вычисление. Формулы Крамера. |
|||
Практические занятия |
|
|
||
1 |
Задачи на тему действия над матрицами. |
2 |
4, 10 – 13 |
|
2 |
Задачи на тему определители матриц. |
|||
3 |
Задачи на тему обратимость матриц. |
|||
Самостоятельна работа студента – выполнение домашней самостоятельной работы № 2. |
4 |
4, 10 – 14 |
||
Тема 1.3. Системы линейных уравнений (СЛУ) |
Содержание учебного материала |
|||
1 |
Запись системы линейных уравнений в матричной форме. Системы линейных уравнений с обратимой матрицей. |
4 |
1, 2, 5 |
|
2 |
Ранг матрицы. Способы его нахождения. Теорема о ранге. |
|||
3 |
Критерий совместности системы линейных уравнений. Эквивалентные системы. Однородная система с квадратной матрицей. Фундаментальная система решений однородной системы. Связь между решениями систем AX=B и AX=0. Общее решение совместной системы. |
|||
Практические занятия |
||||
1 |
Задачи на тему совместность СЛУ. |
2 |
5, 10 – 13 |
|
2 |
Задачи на тему решения СЛУ методом Гаусса |
|||
3 |
Задачи на тему решение СЛУ методом Крамера. |
|||
5 |
Задачи на нахождение ранга матрицы. |
|||
4 |
Задачи на нахождения фундаментального набора решений однородной системы. |
|||
Самостоятельна работа студента – выполнение домашней самостоятельной работы № 3. |
5 |
5, 10 – 14 |
||
Раздел 2. |
Векторные пространства и линейные отображения |
|||
Тема 2.1. Векторные пространства |
Содержание учебного материала |
|||
1 |
Векторное пространство над полем: аксиомы, примеры, линейные комбинации, линейная зависимость, эквивалентные наборы векторов. |
4 |
1, 2, 6 |
|
2 |
Теорема о замене, ранг набора векторов, равенство рангов эквивалентных наборов. |
|||
3 |
База пространства, размерность, координаты, изоморфизм пространств. |
|||
4 |
Матрица перехода, ее невырожденность, связь между координатами в разных базах. |
|||
5 |
Подпространство, сумма и пересечение подпространств, связь между их размерностями, прямая сумма. |
|||
Практические занятия |
||||
1 |
Задачи на определение и свойства векторных пространств. |
2 |
6, 10 – 13 |
|
2 |
Задачи на тему база пространства. |
|||
3 |
Задачи на нахождение матрицы перехода от одной базы к другой. |
|||
4 |
Задачи на нахождение суммы и пересечения подпространств. |
|||
Самостоятельна работа студента – выполнение домашней самостоятельной работы № 4. |
5 |
6, 10 – 14 |
||
Тема 2.2. Линейные отображения (ЛО) |
Содержание учебного материала |
|||
1 |
Линейное отображение (ЛО) и его матрица. Координаты образа, связь между матрицами ЛО в разных базах, подобные матрицы. |
2 |
1, 2, 6 |
|
2 |
Операции над линейными отображениями. Собственные векторы и собственные значения, характеристический полином. |
|||
Практические занятия |
||||
1 |
Задачи на определение линейного отображения. |
2 |
6, 10 – 13 |
|
2 |
Задачи на связь между матрицами ЛО в разных базах. |
|||
3 |
Задачи на нахождение собственных чисел и собственных веторов. |
|||
Самостоятельная работа студента |
||||
1 |
Подготовка к теоретическому опросу № 1. |
8 |
1 – 6, 10 –14 |
|
2 |
Подготовка к контрольной работе № 1. |
|||
3 |
Выполнение домашней самостоятельной работы № 5. |
|||
Контрольная работа № 1. |
2 |
1 – 6, 10 – 14 |
||
Теоретический опрос № 1. |
||||
Раздел 3. |
Аналитическая и многомерная евклидова геометрия |
|||
Тема 3.1. Скалярное произведение, ортогонализация. Евклидово пространство |
Содержание учебного материала |
|||
1 |
Скалярное произведение геометрических векторов и его основные свойства. |
4 |
1, 2, 7 |
|
2 |
Длина вектора и угол между векторами, неравенство Коши-Буняковского, неравенство треугольника. |
|||
3 |
Ортонормированные системы векторов, процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Ортогональные разложения пространства. |
|||
4 |
Векторное и смешанное произведение векторов, объем параллелепипеда. |
|||
5 |
Векторное пространство Rn. Скалярное произведение и ортогональный базис в пространстве Rn. |
|||
6 |
Евклидово пространство. |
|||
Практические занятия |
||||
1 |
Задачи на основные свойства скалярного произведения. |
2 |
7, 10 – 13 |
|
2 |
Задачи связанные с определением длины вектора и угла между векторами. |
|||
3 |
Задачи на реализацию процесса ортогонализации Грама-Шмидта. |
|||
4 |
Задачи на векторные и смешанные произведения векторов. |
|||
Самостоятельна работа студента – выполнение домашней самостоятельной работы № 6. |
6 |
7, 10 – 14 |
||
Тема 3.2. Плоские кривые второго порядка |
Содержание учебного материала |
|||
1 |
Плоские кривые второго порядка, их канонические уравнения. |
4 |
1, 2, 8 |
|
2 |
Эллипс и его свойства. |
|||
3 |
Гипербола и её свойства. |
|||
4 |
Парабола и её свойства. |
|||
5 |
Приведение уравнения кривой к каноническому виду. |
|||
Практические занятия |
||||
1 |
Задачи на основные свойства кривых второго порядка. |
2 |
8, 10 – 13 |
|
2 |
Задачи на приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. |
|||
Самостоятельна работа студента – выполнение домашней самостоятельной работы № 7 (часть кривые). |
4 |
8, 10 – 14 |
||
Тема 3.3. Поверхности второго порядка
|
Содержание учебного материала |
|||
1 |
Канонические уравнения и геометрические свойства поверхностей. |
2 |
1, 2, 8 |
|
2 |
Приведение к каноническому виду уравнения поверхности. |
|||
Практические занятия |
||||
1 |
Задачи на основные свойства поверхностей. |
1 |
8, 10 – 13 |
|
2 |
Задачи на приведение уравнения кривой к каноническому виду. |
|||
Самостоятельна работа студента – выполнение домашней самостоятельной работы № 7 (часть поверхности). |
5 |
8, 10 – 14 |
||
Раздел 4. |
Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей |
|||
Тема 4.1. Кривые в метрическом пространстве
|
Содержание учебного материала |
|||
1 |
Обобщенное понятие кривой. Длина кривой в метрическом пространстве. |
2 |
1, 2, 9 |
|
2 |
Длина участка пути как функция параметра. Стандартные пути (естественно параметризованные кривые). |
|||
3 |
Единичный касательный вектор, вектор кривизны и связанные с ним понятия. |
|||
4 |
Вычисление единичного касательного вектора и вектора кривизны; формулы Френе. |
|||
Практические занятия |
||||
1 |
Задачи на нахождение длины кривой и длины участка кривой в метрическом пространстве. |
1 |
9, 10 – 13 |
|
2 |
Задачи на нахождение кривины, вектора кривизны и касательного вектора. |
|||
Самостоятельная работа студента – выполнение домашней самостоятельной работы № 8 (часть кривые). |
4 |
9, 10 – 14 |
||
Тема 4.2. Дифференциальная геометрия поверхностей |
Содержание учебного материала |
|||
1 |
Регулярные поверхности. Кривизна кривой на поверхности, первая и вторая квадратичные формы.. |
2 |
1, 2, 9 |
|
2 |
Теорема Бонне. Теорема Гаусса и формулы Гаусса-Петерсона-Кодацци. |
|||
Практические занятия |
||||
1 |
Задачи на составление уравнений поверхности вращения. |
1 |
9, 10 – 13 |
|
2 |
Задачи на нахождение 1 и 2 квадратичных форм и использование формул Гаусса- Петерсона-Кодацци. |
|||
Самостоятельная работа студента – выполнение домашней самостоятельной работы № 8 (часть кривые). |
2 |
9, 10 – 14 |
Раздел 5. |
Элементы топологии |
|||
Тема 5.1. Топологические пространства |
Содержание учебного материала |
|||
1 |
Топологическое пространство. Возможность введения различных топологических структур на одном и том же множестве. |
2 |
1, 2, 3 |
|
2 |
База топологии. |
|||
3 |
Аксиомы отделимости. |
|||
4 |
Хаусдорфово топологическое пространство. |
|||
5 |
Метрическое пространство как топологическое пространство. |
|||
Практические занятия |
||||
1 |
Задачи на определение топологии и её видов. |
1 |
3, 10 – 13 |
|
2 |
Задачи на определение метрики и эквивалентность метрик. |
|||
Самостоятельная работа студента |
||||
1 |
Подготовка к теоретическому опросу № 2. |
7 |
3, 10 – 14 |
|
2 |
Подготовка к контрольной работе № 2. |
|||
3 |
Выполнение домашней самостоятельной работы № 9 |
|||
Контрольная работа № 2. |
2 |
1, 2, 3,7 – 9, 10 – 14 |
||
Теоретический опрос № 2. |
||||
Всего: |
118 |
|