Касательная к графику функции

Касательная к графику любой функции в некоторой точке – это всегда линейная функция вида . Она параллельна графику функции в данной точке.

Свойство производной: производная функции находит угловой коэффициент касательной в точке . В этом геометрический смысл производной.

Возьмем некоторую точку , тогда: (свойство производной) Нахождение касательной к графику любой функции Обозначить абсциссу точки касания буквой a Вычислить , имеем Найти и вычислить Подставить значения , и в формулу:

Свойства касательной к графику функции Монотонность

	Рассмотрим возрастающую функцию. Очевидно, что касательная к возрастающему участку функции всегда пересекает ось под углом [0,90], образуя угол первой четверти. А значит, тангенс этого угла (т.е. угловой коэффициент) в таком случае больше или равен нулю. Итак: Если , то
	Рассмотрим убывающую функцию. Очевидно, что касательная к убывающему участку функции всегда пересекает ось под углом [90,180], образуя угол второй четверти. А значит, тангенс этого угла (т.е. угловой коэффициент) в таком случае меньше или равен нулю. Итак: Если , то
	Если , то

В любом случае, при исследовании функции с помощью производной на монотонность, следует убедиться, что производная в данной точке существует и она конечна.

Экстремумы

Если функция имеет экстремум в точке , то в этой точке производная или равна нулю, или не существует, но не наоборот. При этом те точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными, а точки, где производная не существует, называют критическими.

Очевидно также, что если на некотором участке функция сначала возрастает , затем в некоторой точке имеет стационарную или критическую точку , после чего начинает убывать , то в этой точке мы имеем точку максимума функции. То же, только наоборот для точки минимума. При этом функция должна быть непрерывна на рассматриваемом промежутке.

Очевидно также, что максимум функции, если он существует, совпадает с одной из точек максимума.

Первообразная и интеграл

Процесс нахождения функции по ее производной называют интегрированием.

Функция , из которой получают производную называют первообразной.

Определение: функцию называют первообразной для функции , если при всех значениях выполняется тождество .

Для любой функции существует неограниченно большое количество первообразных вида , т.к. производная константы – ноль.

Интеграл

Если функция имеет на промежутке первообразную , то множество всех первообразных, т.е. множество функций вида , называют неопределенным интегралом от функции и обозначают .

Правила нахождения первообразных

1. Интеграл суммы равны сумме интегралов

2. Постоянный множитель может быть вынесен за знак интеграла

3. Справедлива формула:

Формулы производных

1. 

2. 

3. 

4. :

5. 

6. :

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

Определенный интеграл

Это интеграл вида , который по формуле Ньютона-Лейбница раскладывается следующим образом (если функция непрерывна на данном участке):

, где первообразная для .

Определенный интеграл обладает всеми свойствами неопределенного интеграла.

Применение определенного интеграла

Если на участке непрерывная на этом участке функция принимает только неотрицательные значения, то выражение находит площадь криволинейной трапеции, образованной осью x снизу, графиком функции сверху и числами и по бокам. Определенный интеграл может также быть представлен как сумма прямоугольников вписывающихся в график функции, количество которых стремится к бесконечности, а ширина, соответственно, к нулю.