Вычисление предела функции при приближении к точке

Ученые доказали, что если выражениесоставлено из рациональных и иррациональных (и как следствие, тригонометрических) выражений, то функция непрерывна на любом участке, где она определена.

А если функциянепрерывна, то и монотонна. Значит, выражение в этом случае тождественно. Т.о. если выражениесоставлено из рациональных и иррациональных выражений, то для любого требуется выяснить, определена ли функция в этой точке и если определена, топредел функции в этой точке будет равен значению функции в этой же точке: .

Пределы некоторых функций при приближении к точке:

1. 

С Лурки про предел

Возьмём sin(x)/x. Подставим вместо икса ноль— получим ноль делить на ноль. Мы с начальных классов знаем, что нельзя делить на ноль.

Давай подставим 1 (в радианах). Калькулятор даёт: 0,8414709848078965066525023216303

Теперь подставим 0.1. Калькулятор даёт: 0,99833416646828152306814198410622

Давай ещё приблизимся к нулю и подставим 0.01. Получим sin(0.01)/0.01 = 0,99998333341666646825424382690997

Наверное, уже понятно что, приближаясь по иксу к нулю, мы получим по игреку всё ближе к единице. Хотя в самом нуле выражение sin(x)/x не имеет смысла (нельзя делить на ноль), говорят, что его предел при приближении к нулю равен единице.

Приращение аргумента. Приращение функции

Пусть функцияопределена в точках и . При переходе от точки к точке , разность называется приращением аргумента , а разность называется приращением функции .

Найдем приращение функции при переходе от аргумента каргументу :

По определению непрерывности функции в точке :

Отсюда вывод: функция непрерывна в точке , если в точке выполняется условие: при , то

Пример:

1. Найдем приращение функции , подставив в аргумент значение :

2. Предел отношения приращения функции к пределу аргумента при , т.е. :

Примечание: если в ответе под знаком предела имеется , топри он может быть заменен на ©byКО.

Производная и дифференцирование

Процесс нахождения производной функции называют дифференцированием.

Где означает «предел существует и он конечен».

Правила дифференцирования

Общие правила

Формулы

1. : C – const

2. :

Частные случаи:

1. 

2. 

3. , пример применения:

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. …

Применение производной в исследовании функции

Угловой коэффициент

Y

Угловой коэффициент прямой – коэффициент в формуле прямой . Численно составляет тангенс (меньшего) угла между положительным направлением оси абсцисс и данной линией. Свойства углового коэффициента: Прямые перпендикулярны, если Прямые параллельны, если ( При этом – значение от , т.е. точка пересечения ординаты )

X b

Экстремумы

Экстремум – значение минимума или максимума в точке, наибольшее или наименьшее значение функции в локальном смысле, максимум или минимум участка функции. Точку называют точкой максимума, если существует некоторая окрестность, для всех точек которой, кроме самой точки выполняется условие . Точку называют точкой минимума, если существует некоторая окрестность, для всех точек которой, кроме самой точки выполняется условие .